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Fisher不等式
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自己同型群
- アフィン平面
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Steinerトリプルシステム
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STSの直積
- Mathieu群 と
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S(2,3,9)の性質
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S(3,4,10)の構成
Steinerシステムとしてのアフィン平面
証明
(1)(2)
§1-定理1
から
(2)(3)
§1-定理3
から
(3)(1)
§1-定理3
から
(2)(4)
とおくと, 組は異なる個のブロックに含まれている. なぜなら, とがと異なる同じブロックに含まれているとすると, そのブロックはを含むことになるが,
定義
からこれは矛盾する. したがって, は個の異なるブロックに含まれる. いま, を仮定していたのだから, これら個のどのブロックとも異なり, を含むブロックが一意に定まる. そして, このブロックは明らかにと共通部分を持たない.
(4)(2)
上と同様の議論から, は個の異なるブロックに含まれ, これらのブロックはと共通部分を持つ. いま, とは共通部分を持たないを含むブロックが一意に定まると仮定したため, を含むブロックの個数は個である. を任意に取ったので, .
(1)~(4)の同値な条件を満たすSteinerシステムをアフィン平面と呼ぶ. アフィン平面に関する議論は, の元を平面あるいは空間上の点, の元, 即ちブロックを直線だと解釈すると理解の助けとなる. 例えば, (4)の条件
は, ある直線とその直線上にない1点を選んできたとき, を通る直線は一意に定まり, なおかつその直線はと平行であると読み替えられる. これらのことから, 以下ではアフィン平面のブロックを直線と呼ぶことにする.
無論幾何分野のアフィン空間と関係はあるが, ここではアフィン平面はあくまでSteinerシステムの特殊な場合であって, 簡単な集合論の言葉で完結する.
平行類
証明
(1)(2)
類を以下のように構成する.
とを取ると, 定理1からを満たすが一意に存在する. 和に関して帰納法を用いる.
に対して, が存在すると仮定する.
とすると, 定理1からが取れ, を満たすが一意に存在する.
ゆえに, が存在する.
であれば, であるから
よりは本の直線を持つ.
(3)
直線と類に対して, を満たすが存在すると仮定する.
上の議論から類はすべての元を過不足なく含んでいるため, の元をひとつ決めれば, の中の直線でその元を含むものが一意に定まる. に対して, を含むの直線をとすると, より.
に対して, を含む直線が一意に定まったのだから, .
しかし, これはに反するため, .
例. 位数3のアフィン平面
がアフィン平面のとき, を位数という.
の仮定
の下では最小のアフィン平面であるは次のように構成できる.
の値が平行類の分割を表していて, はを9で割った余りである. 明示的に書けば,
ただし, としている. これは9次完全グラフにおける三角形の分割と解釈できる.
辺彩色により平行類を分割している
基本的な性質
を位数のアフィン平面とする. このとき, 同一直線上にない3点を三角形, どの3点も同一直線上にない4点を四角形と呼び, 以下が成り立つ.
(1) 三角形の個数は
(2) 四角形の個数は
(3) 一つの四角形に4つの三角形が含まれる
(4) ある三角形は個の四角形に含まれている
証明
(1)
個の点から3点を選ぶが, 同じ直線上に含まれている3つ組は除くため
(2)
個の点から4点を選ぶが, 同じ直線上に含まれている4つ組, 直線上の3つ組と他の1点からなる4点は除くため
(3)
四角形はどの3点も同一直線上にない4点から構成されているため, 4点から3点を任意に選べば三角形が得られる. よって, ある四角形に三角形は4つ含まれる.
(4)
三角形を取り, 他の1点を選んで4点を構成する方法は通り.
しかし, 他の1点が三角形上の2点と同一直線上にあってはならないという制約が加わるため, ある三角形を含む四角形の個数は