(1) $⟹$ (2)
§1-定理1 から
$\begin{array}{r} r = \frac{k^{2} - 1}{k - 1} = k + 1 \end{array}$

(2) $⟹$ (3)
§1-定理3 から $b = \frac{k^{2} (k^{2} - 1)}{k (k - 1)} = k (k + 1)$

(3) $⟹$ (1)
§1-定理3 から
$\begin{array}{rcl} b k & = & v r \\ k^{2} (k + 1) & = & v \frac{v - 1}{k - 1} \\ v^{2} - v - k^{2} (k^{2} - 1) & = & 0 \\ (v - k^{2}) (v + k^{2} - 1) & = & 0 \\ v & = & k^{2} (∵ v + k^{2} > 2) \end{array}$

(2) $⟹$ (4)
$B = {x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}}$ とおくと, 組 $(α, x_{i}) (1 \leq i \leq k)$ は異なる $k$ 個のブロックに含まれている. なぜなら, $(α, x_{i})$ と $(α, x_{j}) (i \neq j)$ が $B$ と異なる同じブロックに含まれているとすると, そのブロックは $(x_{i}, x_{j})$ を含むことになるが, 定義からこれは矛盾する. したがって, $α \notin B$ は $k$ 個の異なるブロックに含まれる. いま, $r = k + 1$ を仮定していたのだから, これら $k$ 個のどのブロックとも異なり, $α$ を含むブロックが一意に定まる. そして, このブロックは明らかに $B$ と共通部分を持たない.

(4) $⟹$ (2)
上と同様の議論から, $α \notin B$ は $k$ 個の異なるブロックに含まれ, これらのブロックは $B$ と共通部分を持つ. いま, $B$ とは共通部分を持たない $α$ を含むブロックが一意に定まると仮定したため, $α$ を含むブロックの個数は $k + 1$ 個である. $α$ を任意に取ったので, $r = k + 1$ .

　(1)～(4)の同値な条件を満たすSteinerシステムをアフィン平面と呼ぶ. アフィン平面に関する議論は, $Ω$ の元を平面あるいは空間上の点, $B$ の元, 即ちブロックを直線だと解釈すると理解の助けとなる. 例えば, (4)の条件
$\begin{array}{r} ^{\forall} B \in B,^{\forall} α \in Ω ∖ B,^{\exists!} B^{'} \in B s . t . α \in B^{'}, B \cap B^{'} = \emptyset \end{array}$
は, ある直線 $B$ とその直線上にない1点 $α$ を選んできたとき, $α$ を通る直線は一意に定まり, なおかつその直線は $B$ と平行であると読み替えられる. これらのことから, 以下ではアフィン平面のブロックを直線と呼ぶことにする.
　無論幾何分野のアフィン空間と関係はあるが, ここではアフィン平面はあくまでSteinerシステムの特殊な場合であって, 簡単な集合論の言葉で完結する.

平行類

定理2 平行類

S = S (2, k, k^{2}) = S (Ω, B)

をアフィン平面とする. このとき,

B

は以下の条件を満足する

k + 1

個の類に分割できる.
(1) ある類

P

について,

| P | = k

(2) 類

P

から

B_{1}, B_{2} \in P

を取ったとき,

B_{1} \cap B_{2} = \emptyset

(3) 2つの異なる類

P, P^{'}

から

B \in P, B^{'} \in P^{'}

を取ったとき,

B \cap B^{'} \neq \emptyset

このような類を平行類と呼ぶ.

証明

(1)(2)
類 $P$ を以下のように構成する.
$B_{0} \in B$ と $α_{1} \in Ω ∖ B_{0}$ を取ると, 定理1から $α_{1} \in B_{1}, B_{0} \cap B_{1} = \emptyset$ を満たす $B_{1} \in B$ が一意に存在する. 和 $⋃_{i = 0}^{1} B_{i}$ に関して帰納法を用いる.
$l \geq 2$ に対して, $⋃_{i = 0}^{l} B_{i}$ が存在すると仮定する.
$⋃_{i = 0}^{l} B_{i} \neq Ω$ とすると, 定理1から $α_{l + 1} \in Ω ∖ ⋃_{i = 0}^{l} B_{i}$ が取れ, $α_{l + 1} \in B_{l + 1}, B_{i} \cap B_{l + 1} = \emptyset$ を満たす $B_{l + 1} \in B$ が一意に存在する.
ゆえに, $⋃_{i = 0}^{l + 1} B_{i}$ が存在する.
$⋃_{i = 0}^{l} B_{i} = Ω$ であれば, $B_{i}, B_{j} \subset ⋃_{i = 0}^{l}, B_{i} \cap B_{j} = \emptyset$ であるから
$\begin{array}{rcl} \sum_{i = 0}^{l} | B_{i} | & = & | Ω | \\ k (l + 1) & = & k^{2} \\ l & = & k - 1 \end{array}$
より $P$ は $k$ 本の直線を持つ.

(3)
直線と類 $B \in P$ に対して, $B \cap B^{'} \neq \emptyset$ を満たす $B^{'} \in P$ が存在すると仮定する.
上の議論から類 $P$ はすべての元を過不足なく含んでいるため, $Ω$ の元をひとつ決めれば, $P$ の中の直線でその元を含むものが一意に定まる. $x \in B^{'}$ に対して, $x$ を含む $P$ の直線を $B_{x}$ とすると, $B, B_{x} \in P$ より $B \cap B_{x} = \emptyset$ .
$x \notin B$ に対して, $x$ を含む直線が一意に定まったのだから, $B_{x} = B^{'}$ .
しかし, これは $B^{'} \in P^{'}$ に反するため, $B \cap B^{'} = \emptyset$ .

例. 位数3のアフィン平面

　 $S = S (2, k, k^{2})$ がアフィン平面のとき, $k$ を位数という.
$t < k < v$ の仮定の下では最小のアフィン平面である $S (2, 3, 9)$ は次のように構成できる.
$\begin{array}{r} {\begin{cases} (\overset{―}{x - c}, x, \overset{―}{x + c}) & (c = 1, 2, 4, x = 1, 4, 7) \\ (\overset{―}{1 + c^{'}}, \overset{―}{4 + c^{'}}, \overset{―}{7 + c^{'}}) & (c^{'} = 0, 1, 2) \end{cases} \end{array}$
$c$ の値が平行類の分割を表していて, $\overset{―}{a}$ は $a$ を9で割った余りである. 明示的に書けば,
$\begin{array}{rcl} (\overset{―}{0}, 1, \overset{―}{2}) & = & (9, 1, 2) (c = 1, x = 1) \\ (\overset{―}{3}, 4, \overset{―}{5}) & = & (3, 4, 5) (c = 1, x = 4) \\ (\overset{―}{6}, 7, \overset{―}{8}) & = & (6, 7, 8) (c = 1, x = 7) \\ (\overset{―}{- 1}, 1, \overset{―}{3}) & = & (8, 1, 3) (c = 2, x = 1) \\ (\overset{―}{2}, 4, \overset{―}{6}) & = & (2, 4, 6) (c = 2, x = 4) \\ (\overset{―}{5}, 7, \overset{―}{9}) & = & (5, 7, 9) (c = 2, x = 7) \\ (\overset{―}{- 3}, 1, \overset{―}{5}) & = & (6, 1, 5) (c = 4, x = 1) \\ (\overset{―}{0}, 4, \overset{―}{8}) & = & (9, 4, 8) (c = 4, x = 4) \\ (\overset{―}{3}, 7, \overset{―}{11}) & = & (3, 7, 2) (c = 4, x = 7) \\ (\overset{―}{1}, \overset{―}{4}, \overset{―}{7}) & = & (1, 4, 7) (c^{'} = 0) \\ (\overset{―}{2}, \overset{―}{5}, \overset{―}{8}) & = & (2, 5, 8) (c^{'} = 1) \\ (\overset{―}{3}, \overset{―}{6}, \overset{―}{9}) & = & (3, 6, 9) (c^{'} = 2) \end{array}$
ただし, $9 : = \overset{―}{0}$ としている. これは9次完全グラフ $K_{9}$ における三角形の分割と解釈できる.

辺彩色により平行類を分割している

基本的な性質

$S$ を位数 $k$ のアフィン平面とする. このとき, 同一直線上にない3点を三角形, どの3点も同一直線上にない4点を四角形と呼び, 以下が成り立つ.
(1) 三角形の個数は $\frac{1}{6} k (k + 1) (k^{4} - k^{3} - 2 k^{2} + 2 k - 6)$
(2) 四角形の個数は $\frac{1}{24} k^{2} (k^{2} - 1) (k^{4} - 6 k^{2} + 5 k - 24)$
(3) 一つの四角形に4つの三角形が含まれる
(4) ある三角形は $k^{2} - 3 k + 3$ 個の四角形に含まれている

証明

(1)
$k^{2}$ 個の点から3点を選ぶが, 同じ直線上に含まれている3つ組は除くため
$\begin{array}{r} (\begin{matrix} k^{2} \\ 3 \end{matrix}) - k (k + 1) = \frac{1}{6} k (k + 1) (k^{4} - k^{3} - 2 k^{2} + 2 k - 6) \end{array}$
(2)
$k^{2}$ 個の点から4点を選ぶが, 同じ直線上に含まれている4つ組, 直線上の3つ組と他の1点からなる4点は除くため
$\begin{array}{r} (\begin{matrix} k^{2} \\ 4 \end{matrix}) - (\begin{matrix} k \\ 4 \end{matrix}) k (k + 1) - k (k + 1) (k^{2} - k) \\ = \frac{1}{24} k^{2} (k^{2} - 1) (k^{4} - 6 k^{2} + 5 k - 24) \end{array}$
(3)
四角形はどの3点も同一直線上にない4点から構成されているため, 4点から3点を任意に選べば三角形が得られる. よって, ある四角形に三角形は4つ含まれる.
(4)
三角形を取り, 他の1点を選んで4点を構成する方法は $k^{2} - 3$ 通り.
しかし, 他の1点が三角形上の2点と同一直線上にあってはならないという制約が加わるため, ある三角形を含む四角形の個数は
$\begin{array}{r} k^{2} - 3 - 3 (k - 2) = k^{2} - 3 k + 3 \end{array}$