§1-定理3 から
$\begin{array}{rcl} b k & = & v r \\ k^{2} (k + 1) & = & v \frac{v - 1}{k - 1} \\ v^{2} - v - k^{2} (k^{2} - 1) & = & 0 \\ (v - k^{2}) (v + k^{2} - 1) & = & 0 \\ v & = & k^{2} (∵ v + k^{2} > 2) \end{array}$

(2)

⟹

(4)

$B = {x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}}$ とおくと, 組 $(α, x_{i}) (1 \leq i \leq k)$ は異なる $k$ 個のブロックに含まれている. なぜなら, $(α, x_{i})$ と $(α, x_{j}) (i \neq j)$ が $B$ と異なる同じブロックに含まれているとすると, そのブロックは $(x_{i}, x_{j})$ を含むことになるが, 定義からこれは矛盾する. したがって, $α \notin B$ は $k$ 個の異なるブロックに含まれる. いま, $r = k + 1$ を仮定していたのだから, これら $k$ 個のどのブロックとも異なり, $α$ を含むブロックが一意に定まる. そして, このブロックは明らかに $B$ と共通部分を持たない.

(4)

⟹

(2)

上と同様の議論から, $α \notin B$ は $k$ 個の異なるブロックに含まれ, これらのブロックは $B$ と共通部分を持つ. いま, $B$ とは共通部分を持たない $α$ を含むブロックが一意に定まると仮定したため, $α$ を含むブロックの個数は $k + 1$ 個である. $α$ を任意に取ったので, $r = k + 1$ .

　(1)～(4)の同値な条件を満たすシュタイナーシステムをアフィン平面と呼ぶ. アフィン平面に関する議論は, $Ω$ の元を平面あるいは空間上の点, $B$ の元, 即ちブロックを直線だと解釈すると理解の助けとなる. 例えば, (4)の条件
$\begin{array}{r} ^{\forall} B \in B,^{\forall} α \in Ω ∖ B,^{\exists!} B^{'} \in B s . t . α \in B^{'}, B \cap B^{'} = \emptyset \end{array}$
は, ある直線 $B$ とその直線上にない1点 $α$ を選んできたとき, $α$ を通る直線は一意に定まり, なおかつその直線は $B$ と平行であると読み替えられる. これらのことから, 以下ではアフィン平面のブロックを直線と呼ぶことにする.
　無論幾何分野のアフィン空間と関係はあるが, ここではアフィン平面はあくまでシュタイナーシステムの特殊な場合であって, 簡単な集合論の言葉で完結する.

平行類

定理2　平行類

S = S (2, k, k^{2}) = S (Ω, B)

をアフィン平面とする. このとき,

B

は以下の条件を満足する

k + 1

個の類に分割できる.
(1) ある類

P

について,

| P | = k

(2) 類

P

から

B_{1}, B_{2} \in P

を取ったとき,

B_{1} \cap B_{2} = \emptyset

(3) 2つの異なる類

P, P^{'}

から

B \in P, B^{'} \in P^{'}

を取ったとき,

B \cap B^{'} \neq \emptyset

このような類を平行類と呼ぶ.

(1)(2)

類 $P$ を以下のように構成する.
$B_{0} \in B$ と $α_{1} \in Ω ∖ B_{0}$ を取ると, 定理1から $α_{1} \in B_{1}, B_{0} \cap B_{1} = \emptyset$ を満たす $B_{1} \in B$ が一意に存在する. 和 $⋃_{i = 0}^{1} B_{i}$ に関して帰納法を用いる.
$l \geq 2$ に対して, $⋃_{i = 0}^{l} B_{i}$ が存在すると仮定する.
$⋃_{i = 0}^{l} B_{i} \neq Ω$ とすると, 定理1から $α_{l + 1} \in Ω ∖ ⋃_{i = 0}^{l} B_{i}$ が取れ, $α_{l + 1} \in B_{l + 1}, B_{i} \cap B_{l + 1} = \emptyset$ を満たす $B_{l + 1} \in B$ が一意に存在する.
ゆえに, $⋃_{i = 0}^{l + 1} B_{i}$ が存在する.
$⋃_{i = 0}^{l} B_{i} = Ω$ であれば, $B_{i}, B_{j} \subset ⋃_{i = 0}^{l}, B_{i} \cap B_{j} = \emptyset$ であるから
$\begin{array}{rcl} \sum_{i = 0}^{l} | B_{i} | & = & | Ω | \\ k (l + 1) & = & k^{2} \\ l & = & k - 1 \end{array}$
より $P$ は $k$ 本の直線を持つ.

(3)

直線と類 $B \in P$ に対して, $B \cap B^{'} \neq \emptyset$ を満たす $B^{'} \in P$ が存在すると仮定する.
上の議論から類 $P$ はすべての元を過不足なく含んでいるため, $Ω$ の元をひとつ決めれば, $P$ の中の直線でその元を含むものが一意に定まる. $x \in B^{'}$ に対して, $x$ を含む $P$ の直線を $B_{x}$ とすると, $B, B_{x} \in P$ より $B \cap B_{x} = \emptyset$ .
$x \notin B$ に対して, $x$ を含む直線が一意に定まったのだから, $B_{x} = B^{'}$ .
しかし, これは $B^{'} \in P^{'}$ に反するため, $B \cap B^{'} = \emptyset$ .

定理2-系

アフィン平面に関して, 以下が成り立つ.
(1) 異なる平行類に属する直線同士はちょうど1点で交わる.
(2) ある点が含まれている直線はすべて異なる平行類に属しており, なおかつすべての平行類を網羅している.

(1)

上の定理から異なる平行類に属する直線同士は必ず共通部分を持つ. これが2点以上だとすると, 2点を含むブロックが一意に定まったことと矛盾するため, 交点は1点.
(2)
$S (2, k, k^{2})$ について, 定理1からある点 $α$ は $k + 1$ 本の直線に含まれ, 同じ平行類に属する直線は交点を持たないため, $α$ が含まれる直線のうち2本以上が同じ平行類に属することはあり得ない. 上の定理から平行類は $k + 1$ 個あり, $α$ を含む直線はすべての平行類を網羅している.

例. 位数3のアフィン平面

　 $S = S (2, k, k^{2})$ がアフィン平面のとき, $k$ を位数という.
$t < k < v$ の仮定の下では最小のアフィン平面である $S (2, 3, 9)$ は次のように構成できる.
$\begin{array}{r} {\begin{cases} (\overset{―}{x - c}, x, \overset{―}{x + c}) & (c = 1, 2, 4, x = 1, 4, 7) \\ (\overset{―}{1 + c^{'}}, \overset{―}{4 + c^{'}}, \overset{―}{7 + c^{'}}) & (c^{'} = 0, 1, 2) \end{cases} \end{array}$
$c$ の値が平行類の分割を表していて, $\overset{―}{a}$ は $a$ を9で割った余りである. 明示的に書けば,
$\begin{array}{rcl} (\overset{―}{0}, 1, \overset{―}{2}) & = & (9, 1, 2) (c = 1, x = 1) \\ (\overset{―}{3}, 4, \overset{―}{5}) & = & (3, 4, 5) (c = 1, x = 4) \\ (\overset{―}{6}, 7, \overset{―}{8}) & = & (6, 7, 8) (c = 1, x = 7) \\ (\overset{―}{- 1}, 1, \overset{―}{3}) & = & (8, 1, 3) (c = 2, x = 1) \\ (\overset{―}{2}, 4, \overset{―}{6}) & = & (2, 4, 6) (c = 2, x = 4) \\ (\overset{―}{5}, 7, \overset{―}{9}) & = & (5, 7, 9) (c = 2, x = 7) \\ (\overset{―}{- 3}, 1, \overset{―}{5}) & = & (6, 1, 5) (c = 4, x = 1) \\ (\overset{―}{0}, 4, \overset{―}{8}) & = & (9, 4, 8) (c = 4, x = 4) \\ (\overset{―}{3}, 7, \overset{―}{11}) & = & (3, 7, 2) (c = 4, x = 7) \\ (\overset{―}{1}, \overset{―}{4}, \overset{―}{7}) & = & (1, 4, 7) (c^{'} = 0) \\ (\overset{―}{2}, \overset{―}{5}, \overset{―}{8}) & = & (2, 5, 8) (c^{'} = 1) \\ (\overset{―}{3}, \overset{―}{6}, \overset{―}{9}) & = & (3, 6, 9) (c^{'} = 2) \end{array}$
ただし, $9 : = \overset{―}{0}$ としている. これは9次完全グラフ $K_{9}$ における三角形の分割と解釈できる.

辺彩色により平行類を分割している

基本的な性質

$S$ を位数 $k$ のアフィン平面とする. このとき, 同一直線上にない3点を三角形, どの3点も同一直線上にない4点を四角形と呼び, 以下が成り立つ.
(1) 三角形の個数は $\frac{1}{6} k (k + 1) (k^{4} - k^{3} - 2 k^{2} + 2 k - 6)$
(2) 四角形の個数は $\frac{1}{24} k^{2} (k^{2} - 1) (k^{4} - 6 k^{2} + 5 k - 24)$
(3) 一つの四角形に4つの三角形が含まれる
(4) ある三角形は $k^{2} - 3 k + 3$ 個の四角形に含まれている

証明

(1)
$k^{2}$ 個の点から3点を選ぶが, 同じ直線上に含まれている3つ組は除くため
$\begin{array}{r} (\begin{matrix} k^{2} \\ 3 \end{matrix}) - k (k + 1) = \frac{1}{6} k (k + 1) (k^{4} - k^{3} - 2 k^{2} + 2 k - 6) \end{array}$
(2)
$k^{2}$ 個の点から4点を選ぶが, 同じ直線上に含まれている4つ組, 直線上の3つ組と他の1点からなる4点は除くため
$\begin{array}{r} (\begin{matrix} k^{2} \\ 4 \end{matrix}) - (\begin{matrix} k \\ 4 \end{matrix}) k (k + 1) - k (k + 1) (k^{2} - k) \\ = \frac{1}{24} k^{2} (k^{2} - 1) (k^{4} - 6 k^{2} + 5 k - 24) \end{array}$
(3)
四角形はどの3点も同一直線上にない4点から構成されているため, 4点から3点を任意に選べば三角形が得られる. よって, ある四角形に三角形は4つ含まれる.
(4)
三角形を取り, 他の1点を選んで4点を構成する方法は $k^{2} - 3$ 通り.
しかし, 他の1点が三角形上の2点と同一直線上にあってはならないという制約が加わるため, ある三角形を含む四角形の個数は
$\begin{array}{r} k^{2} - 3 - 3 (k - 2) = k^{2} - 3 k + 3 \end{array}$