トリプルシステムの直積

1. Fisher不等式


2. 自己同型群


3. アフィン平面


4. Steinerトリプルシステム
   
   
   
   1. STSの直積
   
   


5. Mathieu群 $M_{11}$と$M_{12}$
   
   
   
   1. S(2,3,9)の性質
   
   
   2. S(3,4,10)の構成
   
   

STSの直積でSTSを構成する

　$\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{S}(v_1{v}_2)$の形に対しては ラテン方格を用いた方法 よりも簡潔に構成できる. 以下では, $\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{S}(3)$を単なる3つ組と見做す.

例1. $\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{S}(9)$

　$\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{S}(9)$はアフィン平面として既に構成したが, STSの直積と捉えると, その本質が垣間見える.
${\mathrm{\Omega }}_1=\{1,2,3\},{\mathrm{\Omega }}_2=\{4,5,6\}$として${\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2$の元を
$$\begin{array}{r}(1,6)=:7,(2,6)=:6,(3,6)=:8,\\ (1,5)=:5,(2,5)=:4,(3,5)=:3,\\ (1,4)=:9,(2,4)=:2,(3,4)=:1\end{array}$$
とおくと,
$$\begin{array}{r}\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{S}(9)=\{(1,2,9),(3,4,5),(8,6,7),\\ (1,3,8),(2,4,6),(9,5,7),\\ (1,4,7),(2,5,8),(3,6,9),\\ (1,6,5),(3,2,7),(8,4,9)\}\end{array}$$

平行類で彩色

平行類は平面$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$の上で平行な直線の組だと理解できる.

例2. $\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{S}(117)$

　$\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{S}(9)$と$\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{S}(13)$の直積として$\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{S}(117)$を構成する.
$\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{S}(9)$と$\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{S}(13)$は以下のように構成できるのだった.
$$\begin{array}{rcl}\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{S}(9)& =& \{\begin{array}{ll}(\overline{x-c},x,\overline{x+c})& (c=1,2,4,x=1,4,7)\\ (\overline{1+c^{\prime }},\overline{4+c^{\prime }},\overline{7+c^{\prime }})& (c^{\prime }=0,1,2)\end{array}\\ \\ \mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{S}(13)& =& \{(x,\underset{―}{x+1},\underset{―}{x+4}),(x,\underset{―}{x+2},\underset{―}{x+7})|x\in \mathbb{Z}/13\mathbb{Z}\}\end{array}$$
ただし, $\bar{a}$は$a$を9で割った余り, $\underset{―}{a}$は$a$を13で割った余りとする.
${\mathrm{\Omega }}_1=\{1,2,\cdots ,9\},{\mathrm{\Omega }}_2=\{1,2,\cdots ,13\}$に対して${\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2$の元を
$$\begin{array}{r}(\alpha ,\beta )=:\alpha +9(\beta -1)(\alpha \in {\mathrm{\Omega }}_1,\beta \in {\mathrm{\Omega }}_2)\end{array}$$
と定める. このとき,
$$\begin{array}{rc}\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{S}(117)=& \{\begin{array}{l}(\overline{\alpha -c}+9(\beta -1),\\ \alpha +9(\beta -1),\overline{\alpha +c}+9(\beta -1))& (c=1,2,4)\\ (1+9(\beta -1)+c^{\prime },\\ 4+9(\beta -1)+c^{\prime },7+9(\beta -1)+c^{\prime })& (c^{\prime }=0,1,2)\\ (\alpha +9\beta ,\alpha +9\underset{―}{(\beta +1)},\alpha +9\underset{―}{(\beta +4)})& (\alpha \in {\mathrm{\Omega }}_1,\beta \in {\mathrm{\Omega }}_2)\\ (\alpha +9\beta ,\alpha +9\underset{―}{(\beta +2)},\alpha +9\underset{―}{(\beta +7)})& (\alpha \in {\mathrm{\Omega }}_1,\beta \in {\mathrm{\Omega }}_2)\end{array}\end{array}$$
と構成できる. ただし, $\bar{0}=9,\underset{―}{0}=13$とする.
ブロックの個数は${\displaystyle \frac{117\cdot 116}{6}}=2262$と, ここですべてを列挙することはできないが, $\alpha ,\beta$に値を代入するだけでブロックが得られる.