ラテン方格とアフィン平面

ブロックデザイン,組合せ論,シュタイナーシステム

フィッシャー不等式

算術三角形

自己同型群と拡大・縮小

アフィン平面
1. 相互直交ラテン方格

シュタイナー三重系
1. STSの直積

マシュー群 $M_{11}$と$M_{12}$

射影平面
1. ブルック-ライサーの定理

シュタイナー四重系
1. 正測体とSQS

構成したシュタイナーシステム

(2,3,7) , (2,3,9)
(2,4,16)NEW, (2,5,25)NEW
(3,4,8)

本筋から逸れる証明は折畳んでいる場合があるが, クリックで開くことができる.

導入

　$1$行目を$\mqty{1&2&3}$に固定すると, $3\times3$ラテン方格は2通りしかない.
$(2,1)$成分に入るのは$2$または$3$で
\begin{eqnarray}L_1=\hspace{1mm} \begin{array}{|ccc|}\hline 1&2&3\\ 2\\\\\hline \end{array}\hspace{1mm},\hspace{2mm}L_2=\hspace{1mm} \begin{array}{|ccc|}\hline 1&2&3\\ 3\\\\\hline \end{array}\end{eqnarray}
ここまで書くと, 残りは数独の要領で確定する.
\begin{eqnarray}L_1=\hspace{1mm} \begin{array}{|ccc|}\hline 1&2&3\\ 2&3&1\\ 3&1&2\\\hline \end{array}\hspace{1mm},\hspace{2mm}L_2=\hspace{1mm} \begin{array}{|ccc|}\hline 1&2&3\\ 3&1&2\\ 2&3&1\\\hline \end{array}\end{eqnarray}
このように$1$行目を"自然な"順序で固定したラテン方格を標準形と呼ぶ.
　これら2つのラテン方格には興味深い性質がある.
\begin{eqnarray}(L_1,L_2)=\hspace{1mm} \begin{array}{|ccc|}\hline (1,1)&(2,2)&(3,3)\\ (2,3)&(3,1)&(1,2)\\ (3,2)&(1,3)&(2,1)\\\hline \end{array}\end{eqnarray}
これは2つのラテン方格を重ねて, 順序対を取ったもので, 左の成分のみを見ると$L_1$が, 右の成分のみを見ると$L_2$が見て取れる.
　$1,2,3$の順序対は$3^2=9$通りあるが, そのすべてが$(L_1,L_2)$に過不足なく現れていることがすぐに確認できる.
　また
\begin{eqnarray}A=\hspace{1mm} \begin{array}{|ccc|}\hline 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\\\hline \end{array}\end{eqnarray}
と
\begin{eqnarray}L_1=\hspace{1mm} \begin{array}{|ccc|}\hline 1&2&3\\ 2&3&1\\ 3&1&2\\\hline \end{array}\hspace{1mm},\hspace{2mm}L_2=\hspace{1mm} \begin{array}{|ccc|}\hline 1&2&3\\ 3&1&2\\ 2&3&1\\\hline \end{array}\end{eqnarray}
を見比べて, $L_1$において成分が$1$であるマスを$A$から切り取ると, $(1,6,8)$が, 同様に成分が$2,3$のマスからはそれぞれ$(2,4,9),(3,5,7)$が得られる.
$L_2$からも同様にして, 同じ成分の場所を$A$から切り抜くと, $(1,5,9),(2,6,7),(3,4,8)$が得られる.
また, $A$の$1$行目の数字は$(1,2,3)$, $2,3$行目の数字はそれぞれ$(4,5,6),(7,8,9)$で, $1,2,3$列目の数字は$(1,4,7),(2,5,8),(3,6,9)$であり, 以上で掘り出した$12$個の3つ組
\begin{eqnarray} (1,2,3),(4,5,6),(7,8,9),\\ (1,4,7),(2,5,8),(3,6,9),\\ (1,6,8),(2,4,9),(3,5,7),\\ (1,5,9),(2,6,7),(3,4,8) \end{eqnarray}
は位数$3$のアフィン平面$S(2,3,9)$をなしている.
　上記の性質を持つようなラテン方格を記述するため, ラテン方格の直交なるものを導入する.

定義と構成

ラテン方格の直交とMOLS

$L_1,L_2$を$n\times n$の異なるラテン方格, $L_1(i,j),L_2(i,j)$をそれぞれ$L_1,L_2$の$(i,j)$成分$(1\leq i,j\leq n)$としたとき, 順序対$(L_1(i,j),L_2(i,j))$が各$i,j$に対してすべて異なっているとき, $L_1$と$L_2$は直交しているという.
$k$個の$n\times n$ラテン方格の集合$\lbrace L_i\rbrace_{i=1,\cdots,k}$に関して, 任意の2つのラテン方格が直交しているとき, $\lbrace L_k\rbrace$をMOLS (Mutually Orthogonal Latin Squares)または相互直交ラテン方格と呼び, $k\hyp{\rm MOLS}(n)$と表記する.

　次はほとんど明らか.

$\lbrace L_k\rbrace$を$n\times n$標準形MOLSとしたとき, $k\leq n-1$.

標準形MOLSであるから, すべての$L_k$の$1$行目は$\mqty[1&2&\cdots&n]$だと考えてよい. よって, $\lbrace L_k\rbrace$のどのラテン方格も$(2,1)$成分には$1$以外が入り, $L_i,L_j\in\lbrace L_k\rbrace\hspace{2mm}(1\leq i< j\leq k)$に対して, $L_i(2,1)=L_j(2,1)=m\hspace{2mm}(1< m\leq n)$だとすると,
\begin{eqnarray} (L_i(2,1),L_j(2,1))&=&(m,m)\\ &=&(L_i(1,m),L_j(1,m)) \end{eqnarray}
となり, $L_i$と$L_j$が直交していることに矛盾する. したがって, $\lbrace L_k\rbrace$のラテン方格の$(2,1)$成分にはすべて異なる数字が入るため, $k\leq n-1$.

MOLSの完全集合

上の定理で等号が成り立つ, 即ち$n-1\hyp{\rm MOLS}(n)$のことを${\rm MOLS}(n)$の完全集合と呼ぶことがある.

位数が素冪のMOLSの完全集合

$q$を素冪, $\mathbb{F}_q=\lbrace0=\alpha_0,1=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{q-1}\rbrace$を有限体とすると, $k=1,2,\cdots,q-1$に対して
\begin{eqnarray} L_k(i,j)=\alpha_k\alpha_{i-1}+\alpha_{j-1} \end{eqnarray}
と定められる集合$\lbrace L_k\rbrace$は${\rm MOLS}(q)$の完全集合をなす.

[i] (各$k$に対して$L_k$がラテン方格であること)
各行の成分がすべて異なることは明らか.
各列について, $\mathbb{F}_q^\times$は位数$q-1$の巡回群であるから, 成分はすべて異なる.

[ii] (MOLSであること)
$k_1,k_2=1,2,\cdots,q-1,\hspace{2mm}k_1\neq k_2$に対して, $L_{k_1}(i,j)=L_{k_1}(i',j')\land L_{k_2}(i,j)=L_{k_2}(i',j')$とすると
\begin{eqnarray}\left\{\begin{array} a\alpha_{k_1}\alpha_{i-1}+\alpha_{j-1}=\alpha_{k_1}\alpha_{i'-1}+\alpha_{j'-1}\\ \alpha_{k_2}\alpha_{i-1}+\alpha_{j-1}=\alpha_{k_2}\alpha_{i'-1}+\alpha_{j'-1} \end{array}\right.\\ (\alpha_{k_1}-\alpha_{k_2})\alpha_{i-1}=(\alpha_{k_1}-\alpha_{k_2})\alpha_{i'-1}\\ \end{eqnarray}
$\alpha_{k_1}\neq\alpha_{k_2}$より$\alpha_{i-1}=\alpha_{i'-1}$.
よって, $\alpha_{j-1}=\alpha_{j'-1}$となり, $L_{k_1}$と$L_{k_2}$は直交する.

例. $\mathbb{F}_4$と$\mathbb{F}_5$

$\mathbb{F}_4$

$\mathbb{F}_4=\lbrace0,1,\omega,\overline{\omega}\rbrace$として, 1行目を$\mqty[0&1&\omega&\overline{\omega}]$で固定すると
\begin{eqnarray} \omega\mqty[0\\1\\\omega\\\overline{\omega}]=\mqty[0\\\omega\\\overline{\omega}\\1],\hspace{2mm}\overline{\omega}\mqty[0\\1\\\omega\\\overline{\omega}]=\mqty[0\\\overline{\omega}\\1\\\omega] \end{eqnarray}
であるから
\begin{array}{|cccc|cccc|cccc|}\hline 0&1&\omega&\overline{\omega}&0&1&\omega&\overline{\omega}&0&1&\omega&\overline{\omega}\\ 1&0&\overline{\omega}&\omega&\omega&\overline{\omega}&0&1&\overline{\omega}&\omega&1&0\\ \omega&\overline{\omega}&0&1&\overline{\omega}&\omega&1&0&1&0&\overline{\omega}&\omega\\ \overline{\omega}&\omega&1&0&1&0&\overline{\omega}&\omega&\omega&\overline{\omega}&0&1\\\hline \end{array}
となる.

$\mathbb{F}_5$

$\mathbb{F}_5=\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$であるから, 1行目の$\mqty[0&1&2&3&4]$を横にスライドしていくと, MOLSが得られる.
左に一つスライドして,
\begin{array}{|ccccc|ccccc|}\hline 0&1&2&3&4\\ 1&2&3&4&0\\ 2&3&4&0&1\\ 3&4&0&1&2\\ 4&0&1&2&3\\\hline \end{array}
左に二つスライドして,
\begin{array}{|ccccc|ccccc|}\hline 0&1&2&3&4\\ 2&3&4&0&1\\ 4&0&1&2&3\\ 1&2&3&4&0\\ 3&4&0&1&2\\\hline \end{array}
以下同様に
\begin{array}{|ccccc|ccccc|}\hline 0&1&2&3&4&0&1&2&3&4\\ 3&4&0&1&2&4&0&1&2&3\\ 1&2&3&4&0&3&4&0&1&2\\ 4&0&1&2&3&2&3&4&0&1\\ 2&3&4&0&1&1&2&3&4&0\\\hline \end{array}
という具合で, $4\hyp{\rm MOLS}(5)$が得られる.

MOLSとアフィン平面

位数$n$のアフィン平面$S(2,n,n^2)$が存在するための必要十分条件は, ${\rm MOLS}(n)$の完全集合が存在することである.

(必要)

$S\coloneqq S(2,n,n^2)=S(\Omega,\mathcal{B})$の$n+1$個の平行類を$\mathcal{H},\mathcal{V},\mathcal{P}_1,\mathcal{P}_2,\cdots,\mathcal{P}_{n-1}$, これらに含まれる直線を
\begin{eqnarray} \mathcal{H}&=&\lbrace H_1,H_2,\cdots,H_n\rbrace\\ \mathcal{V}&=&\lbrace V_1,V_2,\cdots,V_n\rbrace\\ \mathcal{P}_1&=&\lbrace p_{11},p_{12},\cdots,p_{1n}\rbrace\\ \mathcal{P}_2&=&\lbrace p_{21},p_{22},\cdots,p_{2n}\rbrace\\ &\vdots&\\ \mathcal{P}_{n-1}&=&\lbrace p_{n-1,1},p_{n-1,2},\cdots,p_{n-1,n}\rbrace \end{eqnarray}
とする.
\begin{eqnarray} 1\leq{}^\forall i,j\leq n,H_i\cap V_j\neq\varnothing \end{eqnarray}
が成り立つことから,
\begin{eqnarray} f\colon\mathcal{H}\times\mathcal{V}&\longrightarrow&\lbrace 1,2,\cdots,n\rbrace\times\lbrace 1,2,\cdots,n\rbrace\\ (H_i,H_j)&\longmapsto&(i,j) \end{eqnarray}
は全単射である. よって, 平行類$\mathcal{P_1}$に対して,
\begin{eqnarray} L_{\mathcal{P}_1}(i,j)=k\iff H_i\cap V_j=p_{1k} \end{eqnarray}
と定めれば, $L_{\mathcal{P_1}}$は$n\times n$ラテン方格である.
他の平行類$\mathcal{P}_2,\cdots,\mathcal{P}_{n-1}$に対しても同様にラテン方格が構成でき, 結果的に$L_{\mathcal{P}_1}$含め$n-1$個のラテン方格が組み上がる. 後はこれらが互いに直交していることを確認すればよい.
平行類$\mathcal{P}_1,\mathcal{P}_2$から構成されたラテン方格$L_{\mathcal{P}_1},L_{\mathcal{P}_2}$について,
\begin{eqnarray} (L_{\mathcal{P}_1}(i,j),L_{\mathcal{P}_2}(i,j))&\neq&(L_{\mathcal{P}_1}(i',j'),L_{\mathcal{P}_2}(i',j'))\\ \iff L_{\mathcal{P}_1}(i,j)\neq L_{\mathcal{P}_1}(i',j')&\lor&L_{\mathcal{P}_2}(i,j)\neq L_{\mathcal{P}_2}(i',j')\\ \iff L_{\mathcal{P}_1}(i,j)=L_{\mathcal{P}_1}(i',j')&\Rightarrow&L_{\mathcal{P}_2}(i,j)\neq L_{\mathcal{P}_2}(i',j') \end{eqnarray}
$l\in\mathcal{P}_1$が$(i,j),(i',j')$を通るとする. 任意の2直線は 2点以上交点を持てないため, $(i,j),(i',j')$を通るような$l'\in\mathcal{P}_2$は存在しない. したがって,
\begin{eqnarray} L_{\mathcal{P}_1}(i,j)=L_{\mathcal{P}_1}(i',j')&\Rightarrow&L_{\mathcal{P}_2}(i,j)\neq L_{\mathcal{P}_2}(i',j') \end{eqnarray}
が成り立ち, $n-1$個のラテン方格はMOLSの完全集合をなす.
(十分)
必要条件の議論を逆に辿ればよい.

例. $S(2,4,16)$と$S(2,5,25)$

　同じ色のセルを選択すれば, ブロックが得られる.

$S(2,4,16)$

\begin{eqnarray}\begin{array}{|cccc|cccc|cccc|}\hline \cellcolor{white}\textcolor{#000000}{1}&\cellcolor{white}\textcolor{#000000}{2}&\cellcolor{white}\textcolor{#000000}{3}&\cellcolor{white}\textcolor{#000000}{4}\\ \cellcolor{#585858}\textcolor{white}{5}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{6}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{7}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{8}\\ \cellcolor{#FF5B59}\textcolor{white}{9}&\cellcolor{#FF5B59}\textcolor{white}{10}&\cellcolor{#FF5B59}\textcolor{white}{11}&\cellcolor{#FF5B59}\textcolor{white}{12}\\ \cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{13}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{14}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{15}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{16}\\\hline \end{array}\hspace{2mm}\begin{array}{|cccc|cccc|cccc|}\hline \cellcolor{white}\textcolor{#000000}{1}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{2}&\cellcolor{#FF5B59}\textcolor{white}{3}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{4}\\ \cellcolor{white}\textcolor{#000000}{5}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{6}&\cellcolor{#FF5B59}\textcolor{white}{7}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{8}\\ \cellcolor{white}\textcolor{#000000}{9}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{10}&\cellcolor{#FF5B59}\textcolor{white}{11}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{12}\\ \cellcolor{white}\textcolor{#000000}{13}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{14}&\cellcolor{#FF5B59}\textcolor{white}{15}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{16}\\\hline \end{array}\\\begin{array}{|cccc|cccc|cccc|}\hline \cellcolor{white}\textcolor{#000000}{1}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{2}&\cellcolor{#FF5B59}\textcolor{white}{3}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{4}\\ \cellcolor{#585858}\textcolor{white}{5}&\cellcolor{white}\textcolor{#000000}{6}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{7}&\cellcolor{#FF5B59}\textcolor{white}{8}\\ \cellcolor{#FF5B59}\textcolor{white}{9}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{10}&\cellcolor{white}\textcolor{#000000}{11}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{12}\\ \cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{13}&\cellcolor{#FF5B59}\textcolor{white}{14}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{15}&\cellcolor{white}\textcolor{#000000}{16}\\\hline \end{array}\hspace{2mm}\begin{array}{|cccc|cccc|cccc|}\hline \cellcolor{white}\textcolor{#000000}{1}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{2}&\cellcolor{#FF5B59}\textcolor{white}{3}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{4}\\ \cellcolor{#FF5B59}\textcolor{white}{5}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{6}&\cellcolor{white}\textcolor{#000000}{7}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{8}\\ \cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{9}&\cellcolor{#FF5B59}\textcolor{white}{10}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{11}&\cellcolor{white}\textcolor{#000000}{12}\\ \cellcolor{#585858}\textcolor{white}{13}&\cellcolor{white}\textcolor{#000000}{14}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{15}&\cellcolor{#FF5B59}\textcolor{white}{16}\\\hline \end{array}\hspace{2mm}\begin{array}{|cccc|cccc|cccc|}\hline \cellcolor{white}\textcolor{#000000}{1}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{2}&\cellcolor{#FF5B59}\textcolor{white}{3}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{4}\\ \cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{5}&\cellcolor{#FF5B59}\textcolor{white}{6}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{7}&\cellcolor{white}\textcolor{#000000}{8}\\ \cellcolor{#585858}\textcolor{white}{9}&\cellcolor{white}\textcolor{#000000}{10}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{11}&\cellcolor{#FF5B59}\textcolor{white}{12}\\ \cellcolor{#FF5B59}\textcolor{white}{13}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{14}&\cellcolor{white}\textcolor{#000000}{15}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{16}\\\hline \end{array}\end{eqnarray}

$S(2,5,25)$

\begin{eqnarray}\begin{array}{|ccccc|}\hline 1&2&3&4&5\\ \cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{6}&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{7}&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{8}&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{9}&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{10}\\ \cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{11}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{12}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{13}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{14}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{15}\\ \cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{16}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{17}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{18}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{19}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{20}\\ \cellcolor{#585858}\textcolor{white}{21}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{22}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{23}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{24}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{25}\\\hline \end{array}\hspace{2mm}\begin{array}{|ccccc|}\hline 1&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{2}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{3}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{4}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{5}\\ \cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{6}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{7}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{8}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{9}&10\\ \cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{11}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{12}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{13}&14&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{15}\\ \cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{16}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{17}&18&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{19}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{20}\\ \cellcolor{#585858}\textcolor{white}{21}&22&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{23}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{24}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{25}\\\hline \end{array}\hspace{2mm}\begin{array}{|ccccc|}\hline 1&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{2}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{3}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{4}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{5}\\ \cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{6}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{7}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{8}&9&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{10}\\ \cellcolor{#585858}\textcolor{white}{11}&12&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{13}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{14}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{15}\\ \cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{16}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{17}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{18}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{19}&20\\ \cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{21}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{22}&23&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{24}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{25}\\\hline \end{array}\hspace{2mm}\\\begin{array}{|ccccc|}\hline 1&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{2}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{3}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{4}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{5}\\ 6&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{7}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{8}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{9}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{10}\\ 11&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{12}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{13}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{14}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{15}\\ 16&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{17}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{18}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{19}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{20}\\ 21&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{22}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{23}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{24}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{25}\\\hline \end{array}\hspace{2mm}\begin{array}{|ccccc|}\hline 1&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{2}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{3}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{4}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{5}\\ \cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{6}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{7}&8&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{9}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{10}\\ \cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{11}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{12}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{13}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{14}&15\\ \cellcolor{#585858}\textcolor{white}{16}&17&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{18}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{19}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{20}\\ \cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{21}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{22}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{23}&24&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{25}\\\hline \end{array}\hspace{2mm}\begin{array}{|ccccc|}\hline 1&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{2}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{3}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{4}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{5}\\ \cellcolor{#585858}\textcolor{white}{6}&7&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{8}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{9}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{10}\\ \cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{11}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{12}&13&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{14}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{15}\\ \cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{16}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{17}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{18}&19&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{20}\\ \cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{21}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{white}{22}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{white}{23}&\cellcolor{#585858}\textcolor{white}{24}&25\\\hline \end{array}\end{eqnarray}