12次マシュー群3/3 - M11,12の性質, 四元数群との関係

(1)
$\Xi\cup\lbrace\delta\rbrace$の外には4点しかないため, 条件を満たす四角形は存在するとすれば一意である. よって, $S\backslash(\Xi\cup\lbrace\delta\rbrace)$の点が共線上にないことを示せばよい.

\begin{eqnarray} \Xi&=&\lbrace\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\rbrace\\ l_1&=&\lbrace\alpha_1,\alpha_2,\alpha_{1\circ2}\rbrace\in A\\ l_2&=&\lbrace\alpha_3,\alpha_4,\alpha_{3\circ4}\rbrace\in A\\ l_3&=&\lbrace\alpha_1,\alpha_4,\alpha_{1\circ4}\rbrace\in B\\ l_4&=&\lbrace\alpha_2,\alpha_3,\alpha_{2\circ3}\rbrace\in B\\ Q&\coloneqq&S\backslash(\Xi\cup\lbrace\delta\rbrace)\\ &=&\lbrace\alpha_{1\circ2},\alpha_{3\circ4},\alpha_{1\circ4},\alpha_{2\circ3}\rbrace \end{eqnarray}
とおいて, $Q$の中の3点が直線$l$上にあるとすると, 同じ平行類の直線は交点を持たないことから$l\notin A,B$.
$l=\lbrace\alpha_{1\circ2},\alpha_{3\circ4},\alpha_{1\circ4}\rbrace\in C$とすると, $l\in C$と$l_4\in B$は交点を持たないが, これは異なる平行類の直線が1点で交じることと矛盾する. 他の場合でも, $l\in C,D$とすると同種の矛盾が生じる. したがって, $Q$のどの3点も共線上にはない.
(2)
(1)と同じ状況を考え,
\begin{eqnarray} l_5&=&\lbrace\alpha_1,\alpha_3,\delta\rbrace\in C\\ l_6&=&\lbrace\alpha_2,\alpha_4,\delta\rbrace\in D \end{eqnarray}
とする.
$\gamma=\alpha_{1\circ2}$とおくと, 四角形$\lbrace\alpha_1,\alpha_{1\circ2},\alpha_3,\alpha_4\rbrace$が$\Xi\cup\lbrace\gamma\rbrace$に含まれ, 条件に適合しない. $\gamma=\alpha_{3\circ4},\alpha_{1\circ4},\alpha_{2\circ3}$も同様に不適.
$\gamma=\delta$としよう. $\Xi\cup\lbrace\delta\rbrace$から$\alpha_1$または$\alpha_3$を除いた場合は直線$l_6$が, $\alpha_2$または$\alpha_4$を除いた場合は直線$l_5$が$\Xi\cup\lbrace\gamma\rbrace$に含まれるため, $\Xi\cup\lbrace\gamma\rbrace$の中の四角形は$\Xi$のみである.

\begin{eqnarray} \sum_{l=1}^{4}|B_l|&=&66\\ &=&\frac{11\cdot10\cdot9\cdot8}{5\cdot4\cdot3\cdot2}\\ &=&|S(4,5,11)| \end{eqnarray}
よりすべての4つ組が$B_l\hspace{2mm}(l=1,2,3,4)$のいずれかに少なくとも1回含まれているのなら, ちょうど1回含まれていることになる.
[i] $(\alpha,x_1,x_2,x_3)\hspace{2mm}(x_1,x_2,x_3\in\Omega)$について, $x_3=x_{1\circ2}$のとき, $(\alpha,\beta,x_1,x_2,x_{1\circ2})\in B_1$.
$x_3\neq x_{1\circ2}$のとき, 三角形$(x_1,x_2,x_3)$は$Z_i$の四角形に一度だけ含まれる ことから, ${}^{\exists!}x_4\in\Omega,(\alpha,x_1,x_2,x_3,x_4)\in B_2$.
$(\beta,x_1,x_2,x_3),(\alpha,\beta,x_1,x_2)$についても同様.

[ii] $U=(x_1,x_2,x_3,x_4)$について, どの3点も共線上にない, 即ち$U$が四角形をなすとき, $U$が$Z_i$に含まれる型なら$(\alpha,U)\in B_2$, $Z_j$に含まれる型なら$(\beta,U)\in B_3$, $Z_k$に含まれる型なら$(\delta_U,U)\in B_4$. ただし, $\delta_U$は$U$の対角点で, $(\alpha,U)=(\alpha,x_1,x_2,x_3,x_4)$と略記している. $Z_i,Z_j,Z_k$で四角形の6つの型を網羅できていて, なおかつこれらのブロックは一意に定まる.
$U$が四角形をなさない, つまり3点が共線上にあるとき, $x_3=x_{1\circ2}$としても一般性は崩れない. また, この場合$U$に2直線以上が含まれないことはほとんど明らか.
直線$(x_1,x_2,x_{1\circ2}),(x_1,x_4,x_{1\circ4})$が含まれる平行類をそれぞれ$X,Y$, $C_k$をクロスXYとクロスX'Y'の集合とすると, 4点$\Xi=(x_2,x_4,x_{1\circ2},x_{1\circ4})$はどの3点も共線上になく, $\Xi\cup\lbrace x_1\rbrace$を含む四角形は$\Xi$のみであるから, $x_1$は$\Xi$の対角点である. よって, $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_{1\circ4})\in B_4$であり, 以上の議論は選んだ4点にかかわらず一意に進む.

\begin{xy}\xymatrix{ (x_1,\cdots,x_i) \ar[d]^{{}^{\exists}g\in G} & (x_{i+1},\cdots,x_k) \ar[d]^{g} & (x_1,\cdots,x_k) \ar[dd]^{{}^{\exists}f=hg}\\ (y_1,\cdots,y_i) \ar[d]^{h} & (z_{i+1},\cdots,z_k) \ar[d]^{{}^{\exists}h\in G_{(y_1,\cdots,y_i)}}\\ (y_1,\cdots,y_i) & (y_{i+1},\cdots,y_k) & (y_1,\cdots,y_k) }\end{xy}
$(x_1,\cdots,x_k),(y_1,\cdots,y_k)\in\Omega^{(k)}$に対して,
\begin{eqnarray} f(x_1,\cdots,x_k)=(y_1,\cdots,y_k) \end{eqnarray}
なる$f\in G$の存在を示したい.
$G$は$i$重推移であったから,
\begin{eqnarray} g(x_1,\cdots,x_i)=(y_1,\cdots,y_i) \end{eqnarray}
を満たす$g\in G$が存在して,
\begin{eqnarray} g(x_{i+1},\cdots,x_k)=(z_{i+1},\cdots,z_k) \end{eqnarray}
とする. ここで, $(y_1,\cdots,y_i)$の安定化群は$\Omega\backslash\lbrace y_1,\cdots,y_i\rbrace$に対して$k-i$重推移的であるから
\begin{eqnarray} h(z_{i+1},\cdots,z_k)=(y_{i+1},\cdots,y_k) \end{eqnarray}
を満足する$h\in G_{(y_1,\cdots,y_i)}$が存在する.
以上のことから,
\begin{eqnarray} (hg)(x_1,\cdots,x_i,x_{i+1},\cdots,x_k)&=&h(y_1,\cdots,y_i,z_{i+1},\cdots,z_k)\\ &=&(y_1,\cdots,y_i,y_{i+1},\cdots,y_k) \end{eqnarray}
$f=hg$とすればよい.

[i] 群$G$が$\Omega$へ鋭$k$重推移的に作用する, 即ち
\begin{eqnarray} {}^{\forall}(x_1,\cdots,x_k),(y_1,\cdots,y_k)\in\Omega^{(k)},\\ {}^{\exists!}g\in G,g(x_1,\cdots,x_k)=(y_1,\cdots,y_k) \end{eqnarray}
であると仮定する.
\begin{xy}\xymatrix{ (x_1,\cdots,x_k) \ar[d]^{h} \ar@{.>}[rd]^{{}^{\exists!}g\in G}\\ (x_1,\cdots,x_k) \ar[r]_{{}^{\exists}g\in G} & (y_1,\cdots,y_k) }\end{xy}
このとき, $G$は明らかに$k$重推移で, $h(x_1,\cdots,x_k)=(x_1,\cdots,x_k)$を満たす$h\in G$を取ると,
\begin{eqnarray} (gh)(x_1,\cdots,x_k)=(y_1,\cdots,y_k) \end{eqnarray}
一意性から$gh=g$. したがって, $h=1$で安定化群は単位群に限られる.
[ii] $G$が$k$重推移的かつ$\Omega$の$k$-組へ自由に作用すると仮定する.
\begin{xy}\xymatrix{ (x_1,\cdots,x_k) \ar[d]^{{}^{\exists}g\in G} \ar[rd]^{1}\\ (y_1,\cdots,y_k) \ar[r]_{{}^{\exists}h^{-1}\in G} & (x_1,\cdots,x_k) }\end{xy}
$g,h\in G,(x_1,\cdots,x_k),(y_1,\cdots,y_k)\in\Omega^{(k)}$が
\begin{eqnarray} g(x_1,\cdots,x_k)&=&(y_1,\cdots,y_k)\\ h(x_1,\cdots,x_k)&=&(y_1,\cdots,y_k) \end{eqnarray}
を満たすとすると,
\begin{eqnarray} (h^{-1}g)(x_1,\cdots,x_k)=(x_1,\cdots,x_k) \end{eqnarray}
安定化群は単位群に限られるとしたため, $h^{-1}g=1$.
したがって, $g=h$から$G$は鋭$k$重推移である.

任意の$\beta,\gamma\in\Omega\cup\lbrace\alpha\rbrace\eqqcolon\Omega^*$に対して, $\psi\beta=\gamma$なる$\psi\in{\rm Aut}T^*$が存在することを示す.
$T$は同型を除いて一意なのだから, $T^*$の縮小${T^*}_\beta,{T^*}_\gamma$の間に
\begin{eqnarray} B\in{T^*}_\beta\iff\phi B\in{T^*}_\gamma \end{eqnarray}
を満足する全単射$\phi:\Omega^*\backslash\lbrace\beta\rbrace\longrightarrow\Omega^*\backslash\lbrace\gamma\rbrace$が存在する.
そこで次の写像を考える.
\begin{eqnarray} \psi:\Omega^*&\longrightarrow&\Omega^*\\ \Omega^*\backslash\lbrace\beta\rbrace\ni x&\longmapsto&\phi x\\ \beta&\longmapsto&\gamma \end{eqnarray}
この$\psi$が$T^*$の自己同型になっていることを確認する.
$\beta$を含む$T^*$のブロック$(\beta,B_1)$について
\begin{eqnarray} (\beta,B_1)\in T^*&\iff&B_1\in{T^*}_\beta\\ &\iff&\phi B_1\in{T^*}_\gamma\\ &\iff&(\gamma,\phi B_1)\in T^*\\ &\iff&\psi(\beta,B_1)\in T^* \end{eqnarray}
$\Omega\backslash\lbrace\beta\rbrace$の$t+1$元$x_1,\cdots,x_{t+1}$が含まれる唯一のブロックを$B_2$, $B_2$の残りの点を$x_{t+2},\cdots,x_{k+1}$とする.
このとき,
\begin{eqnarray} \phi B_2=\lbrace\phi x_1,\cdots,\phi x_t,\phi x_{t+1},\cdots,\phi x_{k+1}\rbrace \end{eqnarray}
で, これは$\phi x_1,\cdots,\phi x_{t}$が含まれる唯一のブロックである.
したがって, $\psi B_2=\phi B_2\in T^*$から$\psi\in{\rm Aut}T^*$.

$H\cap G_x\triangleleft G_x$で, $G_x$の単純性から
\begin{eqnarray} H\cap G_x=1,G_x \end{eqnarray}
$H\cap G_x=1$のとき, 定理9から$H$は$\Omega$に対して推移的であり, かつ安定化群が単位群に限られるため, 定理5から$H$は鋭推移的.
$H\cap G_x=G_x$のとき, $G_x$が$G$の極大部分群であることを示せたとすると
\begin{eqnarray} G_x=H\lor H=G \end{eqnarray}
だが, $H$の推移性から前者はあり得ないため, $H=G$から$G$は単純である.
よって, $G_x$が$G$の極大部分群であることを示せばよい.
$G_x\lneq K\lneq G$なる部分群$K$の存在を仮定すると, $gKx\cap Kx\neq\varnothing$のとき,
\begin{eqnarray} {}^\exists k,k'\in K, gk'x&=&kx\\ k^{-1}gk'x&=&x\\ k^{-1}gk'&\in&G_x\lneq K\\ g&\in&kKk'^{-1}=K \end{eqnarray}
ゆえに$gKx=Kx$から, ${}^\forall g\in G,gKx\cap Kx=Kx$または$\varnothing$.
作用が原始的であるから, $Kx=\lbrace x\rbrace,\Omega$.
前者は$Kx\leq G_x$を成り立たせるが, これは$G_x\lneq K$に反するためあり得ない.
後者を仮定すると,
\begin{xy}\xymatrix@C=45pt{ x \ar[d]_{{}^\exists k\in K} \ar[rd]^{gk\in G_x\leq K}\\ y \ar[r]_{{}^\exists g\in G\backslash K}& x }\end{xy}
$K$が推移的であるから$x,y\in\Omega$に対して, $kx=y$なる$k\in K$が取れる.
また, $G$も推移的であるから$gy=x$なる$g\in G\backslash K$を取れるはずだが,
\begin{eqnarray} gkx&=&x\\ gk&\in&G_x\leq K\\ g&\in&Kk^{-1}=K \end{eqnarray}
となり矛盾する.
したがって, このような$K$は存在せず, $G_x$は極大部分群である.

$y_1,y_2,y_3\in W_{11}$として, 次のことが示せたとする.
[i] $M_{11}$は$W_{11}$に対して推移的
[ii] $(M_{11})_{y_1}$は$W_{11}\backslash\lbrace y_1\rbrace$に対して推移的
[iii] $(M_{11})_{(y_1,y_2)}$は$W_{11}\backslash\lbrace y_1,y_2\rbrace$に対して推移的
[iv] $(M_{11})_{(y_1,y_2,y_3)}$は$W_{11}\backslash\lbrace y_1,y_2,y_3\rbrace$に対して鋭推移的
このとき, 図式
\begin{xy}\xymatrix@C=18pt{ x_1 \ar[d]|-{{}^{\exists}g_1\in M_{11}} & x_2 \ar[d]^{g_1} & (x_1,x_2) \ar[dd]^{{}^{\exists}g_3=g_2g_1} &&& (x_3,x_4) \ar[dd]^{g_3} & (x_1,x_2,x_3,x_4) \ar@{.>}[dddd]^{{}^{\exists!}g_7=g_6g_3}\\ y_1 \ar[d]_{g_2} & z_2 \ar[d]|-{{}^\exists g_2\in(M_{11})_{y_1}}\\ y_1 & y_2 & (y_1,y_2) \ar[dd]^{g_6} & z_3 \ar[d]|-{{}^\exists g_4\in(M_{11})_{(y_1,y_2)}} & z_4 \ar[d]^{g_4} & (z_3,z_4) \ar@{.>}[dd]^{{}^{\exists!}g_6=g_5g_4}\\ &&& y_3 \ar[d]_{g_5} & w_4 \ar@{.>}[d]|-{{}^{\exists!}g_5\in(M_{11})_{(y_1,y_2,y_3)}}\\ && (y_1,y_2) & y_3 & y_4 & (y_3,y_4) & (y_1,y_2,y_3,y_4) }\end{xy}
から$M_{11}$の鋭四重推移性が導け, 定理7-系から
\begin{eqnarray} \#M_{11}=11\cdot10\cdot9\cdot8=7920 \end{eqnarray}
が得られる. よって, [i],[ii],[iii],[iv]を証明すればよい.

[i] $M_{11}$は$W_{11}$に対して推移的
定理8と $W_{10}$の一意性 から直ちに従う.

[ii] $(M_{11})_{y_1}$は$W_{11}\backslash\lbrace y_1\rbrace$に対して推移的
縮小の自己同型群は安定化群と同型 であったことから
\begin{eqnarray} (M_{11})_{y_1}&=&({\rm Aut}W_{11})_{y_1}\\ &\cong&{\rm Aut}(W_{11})_{y_1}\\ &\cong&{\rm Aut}W_{10}\\ &=&M_{10}\\ W_{11}\backslash\lbrace y_1\rbrace&\cong&W_{10} \end{eqnarray}
定理8から$M_{10}$は$W_{10}$に推移的に作用する.
よって, $(M_{11})_{y_1}$は$W_{11}\backslash\lbrace y_1\rbrace$に対して推移的.

[iv] $(M_{11})_{(y_1,y_2,y_3)}$は$W_{11}\backslash\lbrace y_1,y_2,y_3\rbrace$に対して鋭推移的
上の話と重複する部分が多いため, 略述する.
[iii]は[iv]から従う.

\begin{eqnarray} \#M_{11}=11\cdot10\cdot9\cdot8=2^4\cdot3^2\cdot5\cdot11 \end{eqnarray}
$M_{11}$のシロー$11$群を$P$,
\begin{eqnarray} m=[M_{11}:N_{M_{11}}(P)],r=[N_{M_{11}}(P):P] \end{eqnarray}
とおくと,
\begin{eqnarray} mr\#P&=&\#M_{11}\\ mr&=&720\\ mr&\equiv&5\hspace{2mm}({\rm mod}\hspace{1mm}11)\\ r&\equiv&5\hspace{2mm}({\rm mod}\hspace{1mm}11) \end{eqnarray}
ここで,
・$M_{11}$は明らかに$11$次対称群の部分群
・$N_{\mathfrak{S}_{11}}(P)\cong C_{10}\rtimes C_{11}$
であることから
\begin{eqnarray} 11=\#P\leq\#N_{M_{11}}(P)&\leq&\#N_{\mathfrak{S}_{11}}(P)=11\cdot10\\ r&\leq&10 \end{eqnarray}
が成り立つため, $r=5,m=144$が確定する.
$M_{11}$の非自明な正規部分群を$H$とすると, 定理9から$H$は$W_{11}$に推移的に作用して,
\begin{eqnarray} \#H\equiv0\hspace{2mm}({\rm mod}\hspace{1mm}11) \end{eqnarray}
$H$の正規性とシローの定理から$M_{11}$のシロー$11$群はすべて$H$に含まれる.
よって
\begin{eqnarray} \#H&=&[H:N_H(P)][N_H(P):P]\#P\\ &=&[H:N_{M_{11}}(P)][N_H(P):P]\cdot11\\ &=&1584[N_H(P):P] \end{eqnarray}
$r'\coloneqq[N_H(P):P]$とすると, $1584r'$は$7920$を割り切るから,$r'=1,5$.
$r'=5$では$\#H=\#G$となり矛盾.
$r'=1$とする. $P$と共役な部分群の個数は$m=144$個で, 各々から単位元を除いて, $H$の中で位数$p$の元の個数は$144\cdot(11-1)=1440$.
$\#H=1584$であるから, 位数が$p$ではない元の個数は$1584-1440=144$個.
ここで, $W_{11}$の点$x$を固定するような$H$の元の個数は
\begin{eqnarray} \#H_x&=&\frac{\#H}{|H\cdot x|}\\ &=&144 \end{eqnarray}
位数$p$の元が$x$を固定しないことを考えると, 位数が$p$ではない元はすべて$x$を固定する. これが任意の$W_{11}$の点について成り立ち, すべての$W_{11}$の点の安定化群が同一でなおかつ単位群であるということになるが, これは$m=144$に反する.
以上から, $M_{11}$は非自明な正規部分群を持たない.

$S$の任意の5点は少なくとも1つの四角形を含み , $S$の中のある四角形を
\begin{eqnarray} \Xi=\lbrace\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\rbrace \end{eqnarray}
とすると, $\beta\in F\backslash\Xi$は$\Xi$の対角点ではない.

いま, $\Xi$の型を$AB$
\begin{eqnarray} (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_{1\circ2}),(\alpha_3,\alpha_4,\alpha_{3\circ4})\in A\\ (\alpha_1,\alpha_4,\alpha_{1\circ4}),(\alpha_2,\alpha_3,\alpha_{2\circ3})\in B\\ \end{eqnarray}
とすると, $\beta\neq\alpha_{1\circ3}=\alpha_{2\circ4}$.
$\beta=\alpha_{1\circ2}$とすると, 四角形$(\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\beta)$の対角点は$\alpha_{2\circ3}$で, 四角形$(\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4,\beta)$の対角点は$\alpha_{1\circ4}$である.
$\alpha_1\circ\alpha_2=\beta$であるから, この3点を同時に含む四角形は取れない.
以上から, 任意の6点がクロスを含まないという条件を満足するのは$\alpha_{3\circ4}$に限られる.
また, 仮定からこの6点は平行類$A$の異なる2直線である.