[i] 明らかに $Ω^{'}$ は $v - 1$ 点集合.
[ii] $S$ のブロックから $α$ を含むものを取り, そこから $α$ を取り除いたものが $B^{'}$ であるから, $^{\forall} B \in B^{'}, | B | = k - 1$ .
[iii] ある $Ω^{'}$ の $t - 1$ 元部分集合を $T$ とする. $S (Ω, B)$ はシュタイナーシステムであるから, $T \cup {α}$ を含むブロック $B \in B$ が存在して一意である. $B$ は $B = B^{'} \cup {α}$ と一意に分解でき,
$\begin{array}{rcl} ^{\exists!} T & \in & Ω^{'}, (T \cup {α}) \in (B^{'} \cup {α}) \\ ^{\exists!} T & \in & Ω^{'}, T \in B^{'} \end{array}$

　任意のシュタイナーシステムで縮小は存在するが, 拡大が存在するとは限らない.
$S (t, k, v)$ が存在するための必要条件は $S (t - 1, k - 1, v - 1)$ が存在することであるとも換言できる.

例. $S (3, 4, 8)$

　 $S (2, 3, 7)$ のブロックは以下のように表せた.
$\begin{array}{r} \begin{array}{cc} 1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 7 \\ 6 & 5 \end{array} \begin{array}{cc} 1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 7 \\ 6 & 5 \end{array} \begin{array}{cc} 1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 7 \\ 6 & 5 \end{array} \begin{array}{cc} 1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 7 \\ 6 & 5 \end{array} \begin{array}{cc} 1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 7 \\ 6 & 5 \end{array} \begin{array}{cc} 1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 7 \\ 6 & 5 \end{array} \begin{array}{cc} 1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 7 \\ 6 & 5 \end{array} \end{array}$
左上の空白マスを $α$ とし, $α$ による一点拡大を考えると, 自明なブロックとして
$\begin{array}{r} \begin{array}{cc} α & 1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 7 \\ 6 & 5 \end{array} \begin{array}{cc} α & 1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 7 \\ 6 & 5 \end{array} \begin{array}{cc} α & 1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 7 \\ 6 & 5 \end{array} \begin{array}{cc} α & 1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 7 \\ 6 & 5 \end{array} \begin{array}{cc} α & 1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 7 \\ 6 & 5 \end{array} \begin{array}{cc} α & 1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 7 \\ 6 & 5 \end{array} \begin{array}{cc} α & 1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 7 \\ 6 & 5 \end{array} \end{array}$
が取れるが, 実は黒マスのブロックと黒マスの補集合を合わせれば $S (3, 4, 8)$ のブロックを網羅できている. また, $S (3, 4, 8)$ は次のようにも構成できる.

$\begin{array}{r} Γ_{3} = {(i, j, k, i + j + k) | i, j, k \in {F_{2}}^{3}, i \neq j \neq k} \end{array}$
はシュタイナーシステム $S ({F_{2}}^{3}, Γ_{3}) = S (3, 4, 8)$ をなす.

$i, j, k \in {F_{2}}^{3}, i \neq j \neq k$ に対して
$\begin{array}{r} i + j + k = i \end{array}$
を仮定すると,
$\begin{array}{rcl} j + k & = & 0 \\ j & = & k \end{array}$
と矛盾するため, $i + j + k \neq i$ . 同様に $i + j + k \neq j, k$ .
したがって, 任意の3つ組 $(i, j, k)$ に対して $(i, j, k, i + j + k)$ が存在して, これは一意である.

　要は, Fig1. のような立方体で平行な辺同士を選択すれば, $S (3, 4, 8)$ のブロックが得られるということである.

Fig1. 有限体上の立方体であることに注意

シュタイナーシステムの自己同型群

定義2　自己同型群

S : = S (Ω, B)

を

S (t, k, v)

系とする.

σ \in Sym Ω, B \in B

に対して,

\begin{array}{r} σ B = {σ (α) | α \in B} \end{array}

と定める. このとき,

\begin{array}{r} Aut S : = {σ \in Sym Ω |^{\forall} B \in B, σ B \in B} \end{array}

は置換群

Sym Ω

の部分群であり,

B

に左から作用する.
このような

Aut S

を

S

の自己同型群とする.

部分群の条件と作用の公理を確認すればよいため, 省略.

例. ファノ平面

　ファノ平面 $S (2, 3, 7)$
$\begin{array}{rcl} (1, 2, 3) & , (2, 4, 6), (2, 5, 7) \\ (1, 4, 7) & , (3, 4, 5), (3, 6, 7) \\ (1, 5, 6) \end{array}$
に対して, $(\begin{matrix} 2 & 7 & 5 \end{matrix}) (\begin{matrix} 3 & 4 & 6 \end{matrix}) \in S_{7}$ はそれぞれのブロックを
$\begin{array}{rcl} (1, 7, 4) & , (7, 6, 3), (7, 2, 5) \\ (1, 6, 5) & , (4, 6, 2), (4, 3, 5) \\ (1, 2, 3) \end{array}$
と動かすため, $(\begin{matrix} 2 & 7 & 5 \end{matrix}) (\begin{matrix} 3 & 4 & 6 \end{matrix}) \in Aut S (2, 3, 7)$ .
他方, $(\begin{matrix} 1 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 \end{matrix}) \in S_{7}$ は
$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 1 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 \end{array}) (1, 2, 3) = (7, 1, 2) \notin S (2, 3, 7) \end{array}$
より $(\begin{matrix} 1 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 \end{matrix}) \notin Aut S (2, 3, 7)$

縮小の構造

　シュタイナーシステムにおいて, 縮小と自己同型を取る操作は可換である. ただし, 自己同型群の縮小とは1点を固定して安定化群を得る操作のことで, 厳密には次が成り立つ.

シュタイナーシステム $S : = S (Ω, B)$ から $α \in Ω$ を取ったとき, $Aut S_{α} ≅ (Aut S)_{α}$ .
ただし,
$\begin{array}{r} (Aut S)_{α} = {σ \in Aut S | σ (α) = α} \end{array}$

$S_{α} = S (Ω ∖ {α}, B^{'})$ とする.
$(Aut S)_{α}$ は $B$ に作用するため, $σ \in (Aut S)_{α}$ によって定まる写像
$\begin{array}{rcl} σ : B & ⟶ & B \\ B & ⟼ & σ B \end{array}$
は全単射である.
$\begin{array}{rcl} ϕ : (Aut S)_{α} & ⟶ & Aut S_{α} \\ σ & ⟼ & ϕ (σ) \end{array}$
を
$\begin{array}{rcl} ϕ (σ) : B^{'} & ⟶ & B^{'} \\ B ∖ {α} & ⟼ & σ B ∖ {α} \end{array}$
によって定め, これが全単射準同型であることを示す.
(全射性) 任意の
$\begin{array}{rcl} ϕ (σ) : B^{'} & ⟶ & B^{'} \\ B_{i} & ⟼ & B_{j} \end{array}$
に対して, 縮小の定義から
$\begin{array}{rcl} σ : B & ⟶ & B \\ B_{i} \cup {α} & ⟼ & B_{j} \cup {α} \end{array}$
が存在する.

(単射性)

$B \in B$ , $σ, τ \in (Aut S)_{α}$ に対して, $σ B = B^{'}, τ B = B^{″}$ とすると, $σ (α) = τ (α) = α$ であるから,
$\begin{array}{rcl} σ (B ∖ {α}) & = & B^{'} ∖ {α} \\ τ (B ∖ {α}) & = & B^{″} ∖ {α} \end{array}$
よって,
$\begin{array}{rcl} ϕ (σ) & = & ϕ (τ) \\ ^{\forall} B ∖ {α} \in B^{'}, ϕ (σ) (B ∖ {α}) & = & ϕ (τ) (B ∖ {α}) \\ B^{'} ∖ {α} & = & B^{″} ∖ {α} \\ σ (B ∖ {α}) & = & τ (B ∖ {α}) \\ σ & = & τ \end{array}$

(準同型)

$\begin{array}{rcl} ϕ (σ τ) (B ∖ {α}) & = & σ τ (B) ∖ {α} \\ = & σ (τ B) ∖ {α} \\ = & ϕ (σ) (τ B ∖ {α}) \\ = & ϕ (σ) (ϕ (τ) (B ∖ {α})) \\ = & ϕ (σ) ϕ (τ) (B ∖ {α}) \end{array}$
より $ϕ (σ τ) = ϕ (σ) ϕ (τ)$ .

拡大の構造

補題3

S : = S (Ω, B)

をシュタイナーシステム,

S

に点

α

を付加して得られた拡大を

S^{*}

とすると, 単射

ψ : Aut S ⟶ Aut S^{*}

が存在して,

σ \in Aut S

に対して,

ψ (σ) (α) = α

安定化群 $(Aut S^{*})_{α}$ は $Aut S^{*}$ の部分群であるから, 埋込 $ι : (Aut S^{*})_{α} ↪ Aut S^{*}$ が存在する. また, 定理2から $ϕ^{- 1} : Aut S_{α}^{*} ⟶ (Aut S^{*})_{α}$ は同型射である.
以上から, 次の図式を可換にする単射 $ψ : = ι \circ ϕ^{- 1} \circ {i d}_{Aut S} : Aut S ⟶ Aut S^{*}$ が存在する.
$A u t S i d_{A u t S} ψ A u t S^{*} A u t S_{α}^{*} \sim ϕ^{- 1} (A u t S^{*})_{α} ι$
$ι$ は安定化群の埋込であるから, $σ \in Aut S$ に対して, $ψ (σ) (α) = α$ .

定理4

S : = S (Ω, B)

をシュタイナーシステム,

S

に点

α

を付加して得られた拡大を

S^{*}

ψ

を補題1の埋込とする.

S^{*} = (Ω \cup {α}, B^{*})

として,

B^{*} = X \cup {B \cup {α} | B \in B},^{\forall} B^{'} \in X, α \notin B^{'}

のように

B^{*}

を

α

を含むブロックと含まないブロックに分割したとき,

Aut S ≅ Aut S^{*}

であるための必要十分条件は,

^{\forall} B \in X,^{\forall} σ \in Aut S, ψ (σ) \in X

(必要であること)

$ψ$ が同型射だと措定したため, $σ, τ \in Aut S$ に対して $ψ (σ τ) = ψ (σ) ψ (τ)$
$B \in X$ に対して, $ψ (σ) B = B^{'} \cup {α}$ なる $σ \in Aut S$ が存在すると仮定すると,
$\begin{array}{rcl} ψ (σ^{- 1} σ) B & = & ψ (σ)^{- 1} (ψ (σ) B) \\ = & ψ (σ)^{- 1} (B^{'} \cup {α}) \\ B & = & ψ (σ)^{- 1} B^{'} \cup {α} \\ \notin & X \end{array}$
となり, $B \in X$ と矛盾するため, $ψ (σ)$ は $X$ のブロックを $X$ のブロックに移す.
(十分であること)
$ψ$ が全射準同型であることを確認すればよいため, 省略.

定理4-系

S : = S (Ω, B)

をシュタイナーシステム,

S

に点

α

を付加して得られた拡大を

S^{*}

とする.

S^{*} = (Ω \cup {α}, B^{*})

として,

B^{*} = X \cup {B \cup {α} | B \in B},^{\forall} B^{'} \in X, α \notin B^{'}

のように

B^{*}

を

α

を含むブロックと含まないブロックに分割したとき,

A u t S

の生成系を

L

とすると,

^{\forall} l \in L,^{\forall} B \in X, l X \in X

ならば

Aut S ≅ Aut S^{*}

$L$ の元が $Aut S$ 全体を生成することから直ちに従う.

　実用上は定理2の十分条件が重要で, 系から $Aut S ≅ Aut S^{*}$ の判定に要する計算量が大幅に減る.

例. ファノ平面の1点拡大

　ファノ平面の1点拡大 $S (3, 4, 8)$ について, ブロックを列挙すると,
$\begin{array}{rcl} (1, 2, 3, 8) & , (2, 4, 6, 8), (2, 5, 7, 8) \\ (1, 4, 7, 8) & , (3, 4, 5, 8), (3, 6, 7, 8) \\ (1, 5, 6, 8) & , \\ (1, 2, 4, 5) & , (1, 3, 4, 6), (2, 3, 4, 7) \\ (1, 2, 6, 7) & , (1, 3, 5, 7), (2, 3, 5, 6) \\ (4, 5, 6, 7) \end{array}$
この中で拡大により追加されたブロックは
$\begin{array}{rcl} (1, 2, 4, 5) & , (1, 3, 4, 6), (2, 3, 4, 7) \\ (1, 2, 6, 7) & , (1, 3, 5, 7), (2, 3, 5, 6) \\ (4, 5, 6, 7) \end{array}$
の7つである. ファノ平面の自己同型群は $Aut S (2, 3, 7) = ⟨ (\begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 6 & 7 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 & 7 & 5 \end{matrix}) (\begin{matrix} 3 & 4 & 6 \end{matrix}) ⟩$ の2元生成であるから, $2 \cdot 7 = 14$ 回の計算で $Aut S (2, 3, 7)$ と $Aut S (3, 4, 8)$ が同型かどうか判別できる. 実際, 生成元は追加されたブロックを外に移さないことから,
$\begin{array}{r} Aut S (2, 3, 7) ≅ Aut S (3, 4, 8) \end{array}$
が成り立つ.