シュタイナーシステムの算術三角形
構成したシュタイナーシステム
本筋から逸れる証明は折畳んでいる場合があるが, クリックで開くことができる.
多項式の二項係数は, パスカルの三角形によって(多項式の計算よりも)初等的な計算で求められる. シュタイナーシステムにおいても, その構造の分析に算術三角形が有用である.
原理
以下は, パスカルの三角形における
\begin{eqnarray}
\mqty(n\\r)=\mqty(n-1\\r-1)+\mqty(n-1\\r)
\end{eqnarray}
に相当し, 算術三角形の成立を保証する.
$S=S(\Omega,\mathcal{B})$を$S(t,k,v)$系, $\Omega$のある$i\hspace{2mm}(1\leq i< t)$元を含むブロックの個数を$\lambda_i$とする. $B\in\mathcal{B}$とその部分集合列$D\subseteq C\subseteq B$が$0\leq |D|=j\leq i=|C|\leq k$を満たすとして,
\begin{eqnarray}
m(i,j)=\#\lbrace B'\in\mathcal{B}|B'\cap C=D\rbrace
\end{eqnarray}
と定める. ただし, $j=0$のとき, $D=\varnothing$である. このとき
(1) \begin{eqnarray}
m(0,0)&=&|\mathcal{B}|\\
m(i,i)&=&\left\{\begin{array}{ll}
\lambda_i & (1\leq i< t)\\
1 & (t\leq i\leq k)
\end{array}\right.
\end{eqnarray}
(2) $m(i,j)$の値は$B$の部分集合列の取り方によらない.
(3) $m(i,j)=m(i+1,j)+m(i+1,j+1)$
が成り立つ.
証明の前に$i,j$に具体的な値を入れて, $m(i,j)$の意味を確認しておく. $\lbrace\alpha_1\rbrace\subset\lbrace\alpha_1,\alpha_2\rbrace\subset B$に対して,
\begin{eqnarray}
m(2,1)=\#\lbrace B'\in\mathcal{B}|B'\cap\lbrace\alpha_1,\alpha_2\rbrace=\lbrace\alpha_1\rbrace\rbrace
\end{eqnarray}
は$\alpha_1$を含んでいるが, $\alpha_2$は含んでいないブロックの数を表している.
(1) 定義から明らか.
(2) $i-j$についての帰納法を用いる.
[i] $i-j=0$のとき, (1)から成り立つ.
[ii] $i-j=p$のとき, $m(i,j)$の値が任意の部分集合列に対して一定だと仮定する.
[iii] $i-j=p+1$のとき,
\begin{eqnarray}
D_1\subseteq C_1\subseteq B,|D_1|=j,|C_1|=i,\\
m_1(i,j)=\#\lbrace B'\in\mathcal{B}|B'\cap C_1=D_1\rbrace\\
D_2\subseteq C_2\subseteq B,|D_2|=j,|C_2|=i,\\
m_2(i,j)=\#\lbrace B'\in\mathcal{B}|B'\cap C_2=D_2\rbrace\\
\end{eqnarray}
とおく. $i>j$であるから, $\alpha\in C_1\backslash D_1$が存在して
\begin{eqnarray}
m_1(i-1,j)&=&\#\lbrace B'\in\mathcal{B}|B'\cap(C_1\backslash\lbrace\alpha\rbrace)=D_1\rbrace\\
&=&m_1(i,j)
\end{eqnarray}
$C_2,D_2$についても同様. $(i-1)-j=p$であるから
\begin{eqnarray}
m_1(i,j)&=&m_1(i-1,j)\\
&=&m_2(i-1,j)\\
&=&m_2(i,j)
\end{eqnarray}
以上より, $m(i,j)$は$i,j$の値のみによって定まる.
(3) $B\in\mathcal{B}$の部分集合列$D\subseteq C\subset C\cup\lbrace\alpha\rbrace\subseteq B$を考える.
\begin{eqnarray}
\mathcal{X}=\lbrace B'\in\mathcal{B}|B'\cap C=D\rbrace
\end{eqnarray}
とすると, $\alpha$を含んでいる$\mathcal{X}$の元の個数は
\begin{eqnarray}
\#\lbrace B'\in\mathcal{B}|B'\cap(C\cup\lbrace\alpha\rbrace)=D\cup\lbrace\alpha\rbrace\rbrace=m(i+1,j+1)
\end{eqnarray}
$\alpha$を含んでいない$\mathcal{X}$の元の個数は
\begin{eqnarray}
\#\lbrace B'\in\mathcal{B}|B'\cap(C\cup\lbrace\alpha\rbrace)=D\rbrace=m(i+1,j)
\end{eqnarray}
したがって,
\begin{eqnarray}
|\mathcal{X}|=m(i,j)=m(i+1,j)+m(i+1,j+1)
\end{eqnarray}
例1. $S(2,3,7)$
\begin{eqnarray}
m(0,0)&=&b\\
&=&\frac{7\cdot6}{3\cdot2}=7,\\
m(1,1)&=&\lambda_1\\
&=&\frac{6}{2}=3\\
m(2,2)&=&1
\end{eqnarray}
ここから
\begin{eqnarray}
m(0,0)&=&m(1,0)+m(1,1)\\
\iff m(1,0)&=&4\\\\
m(1,1)&=&m(2,1)+m(2,2)\\
\iff m(2,1)&=&2\\
&\vdots&
\end{eqnarray}
と帰納的に計算できる. これらを
\begin{array}{ccccccccc}
&&&m(0,0)\\
&&m(1,0)&&m(1,1)\\
&m(2,0)&&m(2,1)&&m(2,2)\\
m(3,0)&&m(3,1)&&m(3,2)&&m(3,3)
\end{array}
と並べると, 以下のような算術三角形が得られる.
\begin{array}{ccccccccc} &&&7\\ &&4&&3\\ &2&&2&&1\\ 0&&2&&0&&1 \end{array}
この三角形を用いて, 簡単な$F\coloneqq S(2,3,7)$の考察を試みる.
\begin{eqnarray}
F=\lbrace(1,2,3),(1,4,7),(1,5,6),(2,4,6),(2,5,7),(3,4,5),(3,6,7)\rbrace
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}\begin{array}{|cc|}\hline
&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{1}\\
\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{2}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{3}\\
4&7\\
6&5\\\hline
\end{array}\hspace{2mm}\begin{array}{|cc|}\hline
&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{1}\\
2&3\\
\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{4}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{7}\\
6&5\\\hline
\end{array}\hspace{2mm}\begin{array}{|cc|}\hline
&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{1}\\
2&3\\
4&7\\
\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{6}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{5}\\\hline
\end{array}\hspace{2mm}\begin{array}{|cc|}\hline
&1\\
\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{2}&3\\
\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{4}&7\\
\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{6}&5\\\hline
\end{array}\hspace{2mm}\begin{array}{|cc|}\hline
&1\\
\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{2}&3\\
4&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{7}\\
6&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{5}\\\hline
\end{array}\hspace{2mm}\begin{array}{|cc|}\hline
&1\\
2&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{3}\\
\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{4}&7\\
6&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{5}\\\hline
\end{array}\hspace{2mm}\begin{array}{|cc|}\hline
&1\\
2&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{3}\\
4&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{7}\\
\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{6}&5\\\hline
\end{array}\hspace{2mm}
\end{eqnarray}
$F=S(\Omega,\mathcal{B})$を$S(2,3,7)$系, $B_1\in\mathcal{B},\alpha\in B_1$とすると,
\begin{eqnarray}
B\cap B_1=\lbrace\alpha\rbrace
\end{eqnarray}
を満たすブロック$B$は2つ存在する. それらを$B_2,B_3$とおくと
\begin{eqnarray}
B_1\cup B_2\cup B_3&=&\Omega\\
B_1\cap B_2\cap B_3&=&\lbrace\alpha\rbrace
\end{eqnarray}
が成り立つ. このような分割を$\alpha$が定める$2^3$型分割と呼ぶ.
$m(3,1)=2$から
\begin{eqnarray}
B\cap B_1=\lbrace\alpha\rbrace
\end{eqnarray}
を満たすブロックが2つ存在することは明らか.
$B_2$と$B_2$の共通部分には$\alpha$が含まれているが, $\alpha$以外の点を共有しているとすると, 2点を含むブロックが一意に定まったことと矛盾するため, 共通部分は$\alpha$のみ.
よって,
\begin{eqnarray}
B_1\cap B_2&=&B_2\cap B_3\\
&=&B_1\cap B_3\\
&=&\lbrace\alpha\rbrace
\end{eqnarray}
で, $|\Omega|=7$だから
\begin{eqnarray}
B_1\cup B_2\cup B_3&=&\Omega
\end{eqnarray}
例えば$\alpha=1$とすると, $1$以外に共通部分を持たない3つのブロックは
\begin{eqnarray}
(1,2,3),(1,4,7),(1,5,6)
\end{eqnarray}
であり, $1$以外の重複を持たずに$\Omega$を網羅していることが確認できる.
以下は, 左からそれぞれ$1,2,3,4,5,6,7$が定める$2^3$型分割を表しており, セルの合計が3マスになるよう2色を選べば, $F$のブロックが得られる.
\begin{eqnarray}\begin{array}{|cc|}\hline
&\cellcolor{#FF5B59}\textcolor{#FFFFFF}{1}\\
\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{2}&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{3}\\
\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{#FFFFFF}{4}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{#FFFFFF}{7}\\
\cellcolor{#363E99}\textcolor{#FFFFFF}{6}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{#FFFFFF}{5}\\\hline
\end{array}\hspace{2mm}\begin{array}{|cc|}\hline
&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{1}\\
\cellcolor{#FF5B59}\textcolor{#FFFFFF}{2}&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{3}\\
\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{#FFFFFF}{4}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{#FFFFFF}{7}\\
\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{#FFFFFF}{6}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{#FFFFFF}{5}\\\hline
\end{array}\hspace{2mm}\begin{array}{|cc|}\hline
&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{#FFFFFF}{1}\\
\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{#FFFFFF}{2}&\cellcolor{#FF5B59}\textcolor{#FFFFFF}{3}\\
\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{4}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{#FFFFFF}{7}\\
\cellcolor{#363E99}\textcolor{#FFFFFF}{6}&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{5}\\\hline
\end{array}\hspace{2mm}\begin{array}{|cc|}\hline
&\cellcolor{#363E99}\textcolor{#FFFFFF}{1}\\
\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{#FFFFFF}{2}&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{3}\\
\cellcolor{#FF5B59}\textcolor{#FFFFFF}{4}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{#FFFFFF}{7}\\
\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{#FFFFFF}{6}&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{5}\\\hline
\end{array}\hspace{2mm}\begin{array}{|cc|}\hline
&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{#FFFFFF}{1}\\
\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{2}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{#FFFFFF}{3}\\
\cellcolor{#363E99}\textcolor{#FFFFFF}{4}&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{7}\\
\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{#FFFFFF}{6}&\cellcolor{#FF5B59}\textcolor{#FFFFFF}{5}\\\hline
\end{array}\hspace{2mm}\begin{array}{|cc|}\hline
&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{1}\\
\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{#FFFFFF}{2}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{#FFFFFF}{3}\\
\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{#FFFFFF}{4}&\cellcolor{#363E99}\textcolor{#FFFFFF}{7}\\
\cellcolor{#FF5B59}\textcolor{#FFFFFF}{6}&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{5}\\\hline
\end{array}\hspace{2mm}\begin{array}{|cc|}\hline
&\cellcolor{#363E99}\textcolor{#FFFFFF}{1}\\
\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{#FFFFFF}{2}&\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{3}\\
\cellcolor{#363E99}\textcolor{#FFFFFF}{4}&\cellcolor{#FF5B59}\textcolor{#FFFFFF}{7}\\
\cellcolor{#DEE0FF}\textcolor{#000000}{6}&\cellcolor{#5B68FF}\textcolor{#FFFFFF}{5}\\\hline
\end{array}\hspace{2mm}
\end{eqnarray}
左上の空白マスを赤で塗ったときに対称性が高くなるよう数字を配置している.
$F=S(2,3,7)$は同型を除いて一意に定まる.
ある$S(2,3,7)$系$S(\Omega,\mathcal{B})$から${\mathbb{F}_2}^3\backslash\lbrace(0,0,0)\rbrace$への全単射を構成する.
点$\alpha\in\Omega$を取り, $\alpha$が定める$2^3$型分割で得られたブロックを
\begin{eqnarray}
A_1&=&\lbrace\alpha,\beta,\gamma\rbrace\\
A_2&=&\lbrace\alpha,x_1,x_2\rbrace\\
A_3&=&\lbrace\alpha,x_3,x_4\rbrace
\end{eqnarray}
としたとき, $\beta$が定める$2^3$型分割を
\begin{eqnarray}
A_1,B_1&=&\lbrace\beta,x_1,x_3\rbrace\\
B_2&=&\lbrace\beta,x_2,x_4\rbrace
\end{eqnarray}
としても一般性を失わない. このとき, $\gamma$が定める$2^3$型分割は
\begin{eqnarray}
A_1,C_1&=&\lbrace\gamma,x_1,x_4\rbrace\\
C_2&=&\lbrace\gamma,x_2,x_3\rbrace
\end{eqnarray}
であることが確定する.
\begin{eqnarray}
A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,C_1,C_2
\end{eqnarray}
はすべて異なるため,
\begin{eqnarray}
\mathcal{B}=\lbrace A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,C_1,C_2\rbrace
\end{eqnarray}
したがって, ${\mathbb{F}_2}^3$の元$(a_1,a_2,a_3)$を$a_1a_2a_3$と表記することにすれば, 全単射
\begin{eqnarray}
f:\Omega&\longrightarrow&{\mathbb{F}_2}^3\backslash\lbrace000\rbrace\\
\alpha&\longmapsto&001\\
\beta&\longmapsto&010\\
\gamma&\longmapsto&011\\
x_1&\longmapsto&100\\
x_2&\longmapsto&101\\
x_3&\longmapsto&110\\
x_4&\longmapsto&111
\end{eqnarray}
が得られる.
例2. $S(5,8,24)$
以下, $S(5,8,24)$が存在すると仮定して議論を進める.
\begin{eqnarray}
b&=&\frac{24\cdot23\cdot22\cdot21\cdot20}{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}=759\\
\lambda_1&=&\frac{23\cdot22\cdot21\cdot20}{7\cdot6\cdot5\cdot4}=253\\
\lambda_2&=&\frac{22\cdot21\cdot20}{6\cdot5\cdot4}=77\\
\lambda_3&=&\frac{21\cdot20}{5\cdot4}=21\\
\lambda_4&=&\frac{20}{4}=5\\
\end{eqnarray}
より
\begin{array}{ccccccccccccccccccc}
&&&&&&&&759\\
&&&&&&&506&&253\\
&&&&&&330&&176&&77\\
&&&&&210&&120&&56&&21\\
&&&&130&&80&&40&&16&&5\\
&&&78&&52&&28&&12&&4&&1\\
&&46&&32&&20&&8&&4&&0&&1\\
&30&&16&&16&&4&&4&&0&&0&&1\\
30&&0&&16&&0&&4&&0&&0&&0&&1
\end{array}
\begin{eqnarray}
S&=&\lbrace s_1,s_2,s_3,s_4,u_1,u_2,u_3,u_4\rbrace\\
T&=&\lbrace t_1,t_2,t_3,t_4,u_1,u_2,u_3,u_4\rbrace
\end{eqnarray}
とおく.
\begin{eqnarray}S=\hspace{1mm}\begin{array}{|cccccccc|}\hline
\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_1}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_2}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{u_1}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{u_2}&t_1&t_2\\
\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_3}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_4}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{u_3}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{u_4}&t_3&t_4\\\hline
\end{array}\hspace{1mm},\hspace{2mm}T=\hspace{1mm}\begin{array}{|cccccccc|}\hline
s_1&s_2&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{u_1}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{u_2}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{t_1}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{t_2}\\
s_3&s_4&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{u_3}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{u_4}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{t_3}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{t_4}\\\hline
\end{array}\end{eqnarray}
$s_1,s_2,s_3,s_4,t_1$が含まれる唯一のブロック
\begin{eqnarray}B\supset\hspace{1mm}\begin{array}{|cccccccc|}\hline
\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_1}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_2}&u_1&u_2&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{t_1}&t_2\\
\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_3}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_4}&u_3&u_4&t_3&t_4\\\hline
\end{array}\end{eqnarray}
が
\begin{eqnarray}S\oplus T=\hspace{1mm}\begin{array}{|cccccccc|}\hline
\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_1}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_2}&u_1&u_2&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{t_1}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{t_2}\\
\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_3}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_4}&u_3&u_4&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{t_3}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{t_4}\\\hline
\end{array}\end{eqnarray}
ではないと仮定する.
算術三角形から
\begin{eqnarray}
m(8,1)=m(8,3)=m(8,5)=m(8,6)=m(8,7)=0
\end{eqnarray}
であり, $S(5,8,24)$のブロック同士の共通部分は$0,2,4,8$のいずれかである.
$B,T$がともに$t_1$を含んでいるため$|B\cap T|$は$1$以上だが, 仮定から$4$ではない.
よって$|B\cap T|=2$で, $B\cap T=\lbrace t_1,t_2\rbrace$としても一般性を失わない.
\begin{eqnarray}B\supset\hspace{1mm}\begin{array}{|cccccccc|}\hline
\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_1}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_2}&u_1&u_2&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{t_1}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{t_2}\\
\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_3}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_4}&u_3&u_4&t_3&t_4\\\hline
\end{array}\end{eqnarray}
$s_1,s_2,s_3,s_4,t_3$が含まれるブロック$B'\neq B$が$t_1$または$t_2$を含んでいたとすると, 両者とも$s_1,s_2,s_3,s_4,t_1$または$s_1,s_2,s_3,s_4,t_2$が含まれるが, これは一意性に反するため, $B'\cap T=\lbrace t_3,t_4\rbrace$である.
\begin{eqnarray}B'\supset\hspace{1mm}\begin{array}{|cccccccc|}\hline
\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_1}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_2}&u_1&u_2&t_1&t_2\\
\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_3}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_4}&u_3&u_4&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{t_3}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{t_4}\\\hline
\end{array}\end{eqnarray}
ここで, $s_1,s_2,s_3,t_1,t_3$を含むブロック
\begin{eqnarray}\mathcal{O}\supset\hspace{1mm}\begin{array}{|cccccccc|}\hline
\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_1}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_2}&u_1&u_2&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{t_1}&t_2\\
\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_3}&s_4&u_3&u_4&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{t_3}&t_4\\\hline
\end{array}\hspace{1mm}\neq B,B'\end{eqnarray}
を考える. $S$と3点を共有していて, $S$とは異なるブロックであるから, $|\mathcal{O}\cap S|=4$.
$s_4\in\mathcal{O}$とすると, $s_1,s_2,s_3,s_4,t_1$を含むブロックが$B,\mathcal{O}$の2つとなってしまうため, $s_4\notin\mathcal{O}$. これらのことから, $\mathcal{O}\cap S=\lbrace s_1,s_2,s_3,u_1\rbrace$としても問題ない.
\begin{eqnarray}\mathcal{O}\supset\hspace{1mm}\begin{array}{|cccccccc|}\hline
\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_1}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_2}&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{u_1}&u_2&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{t_1}&t_2\\
\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{s_3}&s_4&u_3&u_4&\cellcolor{#585858}\textcolor{#FFFFFF}{t_3}&t_4\\\hline
\end{array}\end{eqnarray}
$\mathcal{O}$と$T$との共通部分を考えると, 既に$t_1,t_3,u_1$があるため, 残り1点を取らなくてはならない. $u_2,u_3,u_4$のいずれかの点を取ると, $|\mathcal{O}\cap S|=4$に矛盾し, $t_2,t_4$のどちらかを取ると, $|\mathcal{O}\cap B|\geq5$または$|\mathcal{O}\cap B'|\geq5$となるが, これは$\mathcal{O}\neq B,B'$に矛盾するため, $B\neq S\oplus T$の仮定が誤り.
