12次マシュー群1/3 - S(2,3,9)の性質

構成したシュタイナーシステム

(2,3,7) , (2,3,9) , (2,3,13) , (2,3,117)
(2,4,16) , (2,5,25)
(3,4,8)

5点集合を$F=\lbrace\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5\rbrace$とする.
$S$の2点を選べば一意にそれらを含む直線が決まることから, $(\alpha_i,\alpha_j)$が含まれる直線を$(\alpha_i,\alpha_j,\alpha_{i\circ j})$と表記する. ここで, $i,j,k$がすべて異なれば, 同じ2点が複数の直線に含まれることはあり得ないため, $\alpha_{i\circ j},\alpha_{j\circ k},\alpha_{k\circ i}$はすべて異なる. このことを$F$に適用することで矛盾を導く.
$\alpha_{1\circ i}\hspace{2mm}(i=2,3,4,5)$はすべて異なり, 仮定からすべて$F$の外にある. $S$は9点集合であったから, $\alpha_1,\alpha_i,\alpha_{1\circ i}$で$S$の点は言い尽くされている.
$\alpha_{2\circ j}\hspace{2mm}(j=3,4,5)$についてもすべて異なり, $j$に対して$\alpha_{2\circ j}=\alpha_{1\circ k}\hspace{2mm}(k=3,4,5,j\neq k)$なる$k$を取ることができる.
このとき, $\alpha_{3\circ4}=\alpha_{1\circ 2}$が決まる.
なぜなら, $\alpha_{3\circ4}$は$\alpha_{1\circ3},\alpha_{1\circ4}$と異なり, $\alpha_{1\circ5}=\alpha_{2\circ3}$または$\alpha_{1\circ5}=\alpha_{2\circ4}$であるから, いずれにせよ$\alpha_{3\circ4}\neq\alpha_{1\circ5}$.
同様に$\alpha_{3\circ5}=\alpha_{1\circ 2}$が成り立つが, これは$\alpha_{3\circ4}\neq\alpha_{3\circ5}$に矛盾.
したがって, $\alpha_{1\circ i}$のいずれかは$F$の中にいなければいけない.
添数は任意だったため, $S$のすべての5点集合について同様のことが示せる.

任意の$S$に対して, 以下に示すような操作が可能である.
アフィン平面-定理2 より, $S$について, 3つの直線を含んだ4つの平行類が得られ, その中の2つを$R,C$とする.
$R,C$から直線$B_R,B_C$をそれぞれ取ると, $|B_R\cap B_C|=1$ .
$R=\lbrace B_{R1},B_{R2},B_{R3}\rbrace, C=\lbrace B_{C1},B_{C2},B_{C3}\rbrace$とおき, その交点を$|B_{R1}\cap B_{C1}|=\alpha_1,|B_{R2}\cap B_{C2}|=\alpha_2$とすると, この2点を含む直線$B=\lbrace\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\rbrace$と点$\alpha_3$が存在する.
このとき, $\alpha_3\in B_{R1}$とすると, $\alpha_1,\alpha_3\in B_{R1}$であるから, $B=B_{R1}$となるが, $\alpha_2\notin B_{R1}$より矛盾.
同様に$\alpha_3\in B_{R2},B_{C1},B_{C2}$とすると矛盾するため, $\alpha_3\notin B_{R1},B_{R2},B_{C1},B_{C2}$.
アフィン平面の同値な条件 から, $\alpha_3$は$B_{R1},B_{R2},B_{R3}$のいずれかに含まれていなければならない.
したがって, $\alpha_3\in B_{R3}$.
同様にして, $\alpha_3\in B_{C3}$.
$B_{R1}\cap B_{C1},B_{R2}\cap B_{C3}$, $B_{R1}\cap B_{C2},B_{R2}\cap B_{C1}$, $B_{R1}\cap B_{C2},B_{R2}\cap B_{C3}$, $B_{R1}\cap B_{C3},B_{R2}\cap B_{C1}$, $B_{R1}\cap B_{C3},B_{R2}\cap B_{C2}$の5つについても上記の操作を行えば, すべて合わせて12本の直線が得られ, $S$のブロックを網羅できる.
与えられた2つの異なる$S$に対して, この操作を行い, 点と点, ブロックとブロックを対応させれば同型が得られる.

$\mathbb{F}_3=\lbrace0,1,2\rbrace$, $\Omega_1,\Omega_2$を$\mathbb{F}_3$によって添え字付けられた集合とし, それぞれの元を$\Omega_1=\lbrace\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2\rbrace,\Omega_2=\lbrace\beta_0,\beta_1,\beta_2\rbrace$とする.
定理4から$S$はすべて${\rm STS}(3)\times{\rm STS}(3)$と同型であり, ${\rm STS}(\Omega_1)\times{\rm STS}(\Omega_2)$
\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{ll} ((\alpha_0,\beta_r),(\alpha_1,\beta_r),(\alpha_2,\beta_r)) & \beta_r\in\Omega_2\\ ((\alpha_i,\beta_0),(\alpha_i,\beta_1),(\alpha_i,\beta_2)) & \alpha_i\in\Omega_1\\ ((\alpha_0,\beta_r),(\alpha_1,\beta_s),(\alpha_2,\beta_t)) & \beta_r,\beta_s,\beta_t\in\Omega_2 \end{array}\right.\end{eqnarray}
に$S$を代表させても一般性を失わない.
${\mathbb{F}_3}^2$の基底$\mqty[1\\0],\mqty[0\\1]\in{\mathbb{F}_3}^2$をそれぞれ$(\alpha_1,\beta_0),(\alpha_0,\beta_1)\in\Omega_1\times\Omega_2$へ送れば, ${\mathbb{F}_3}^2$のベクトルと$\Omega_1\times\Omega_2$の元が一対一に対応する. よって, $t\in{\rm AGL}_2(\mathbb{F}_3)$は$\alpha,\beta$の添え字を動かすが, ${\rm STS}(\Omega_1)\times{\rm STS}(\Omega_2)$の構成では$\alpha$か$\beta$の添え字が固定されているため, $t$は${\rm STS}(\Omega_1)\times{\rm STS}(\Omega_2)$のブロックをブロックへ移す.
基底が対応しているため, ${\rm AGL}_2(\mathbb{F}_3)\longrightarrow{\rm Aut}S$は全単射であり, ${\rm AGL}_2(\mathbb{F}_3)\cong{\rm Aut}S$

正則であることと行列式が0でないことは同値である.
ある列の成分がすべて0である行列の行列式は0であるから, 1列目の選び方は$p^n-1$通り.
2列目が1列目の定数倍であれば, 列基本変形で2列目の成分をすべて0にできてしまうため, 2列目には, 1列目の線型結合ではない, という制約が加わる. よって2列目の選び方は$p^n-p$通り.
以下同様に列を選んでいくと, 正則な行列の個数は$\prod_{i=0}^{n-1}(p^n-p^i)$となる.