両側超幾何級数の和公式, 変換公式まとめ
前の記事
の記法をここでも用いることにして, 今回は両側超幾何級数
\begin{align}
\H{r}{r}{a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_r}{x}&=\sum_{n\in\ZZ}\frac{(a_1,\dots,a_r)_n}{(b_1,\dots,b_r)_n}x^n\\
&=\F{r+1}r{1,a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_r}{x}+\F{r+1}r{1,1-b_1,\dots,1-b_r}{1-a_1,\dots,1-a_r}{\frac 1x}-1
\end{align}
の和公式, 変換公式をまとめたいと思う.
和公式
${}_1H_1$
Ramanujanの和公式 の系
\begin{align} \H11{a}bx&=\frac{\Gamma(1-a)\Gamma(b)}{\Gamma(b-a)}(1-x)^{-a}(1-x^{-1})^{b-1} \end{align}
${}_2H_2$
Dougallの和公式
\begin{align} \H22{a,b}{c,d}1&=\frac{\Gamma(c)\Gamma(d)\Gamma(1-a)\Gamma(1-b)\Gamma(c+d-a-b-1)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)\Gamma(d-a)\Gamma(d-b)} \end{align}
Dougallの和公式 の系
\begin{align} &\H22{b,c}{1+a-b,1+a-c}{-1}\\ &=\frac{\Gamma(1-b)\Gamma(1-c)\Gamma\left(1-\frac a2\right)\Gamma\left(1+\frac a2\right)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1-a)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma\left(1+\frac a2-b\right)\Gamma\left(1+\frac a2-c\right)} \end{align}
${}_3H_3$
Dougallの和公式 の系
\begin{align} &\H33{b,c,d}{1+a-b,1+a-c,1+a-d}1\\ &=\frac{\Gamma(1-b)\Gamma(1-c)\Gamma(1-d)\Gamma\left(1-\frac a2\right)\Gamma\left(1+\frac a2\right)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma\left(1+\frac{3a}2-b-c-d\right)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1-a)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+a-b-d)\Gamma(1+a-c-d)\Gamma\left(1+\frac a2-b\right)\Gamma\left(1+\frac a2-c\right)\Gamma\left(1+\frac a2-d\right)} \end{align}
Jacksonの和公式
$e+f=2a+1, 2g=b+c+1$であるとき,
\begin{align}
&\H33{a,b,c}{e,f,g}1\\
&=\frac{2^{b+c-2a}\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(g)\Gamma(1-a)\Gamma(1-b)\Gamma(1-c)\Gamma\left(a+\frac{1-b-c}2\right)}{\pi\Gamma\left(\frac{1+e-b}2\right)\Gamma\left(\frac{1+e-c}2\right)\Gamma\left(1+a-\frac{b+e}2\right)\Gamma\left(1+a-\frac{c+e}2\right)}\\
&\qquad\cdot\left(\sin\pi a\cos\frac{\pi(b-c)}2+\sin\pi(e-a)\cos\frac{\pi(b+c)}2\right)
\end{align}
両側Saalschützの和公式
$2+a+b+c=d+e+f$のとき,
\begin{align}
\H33{a,b,c}{d,e,f}1&=\frac{\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1-a)\Gamma(1-b)\Gamma(1-c)}{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1-d)\Gamma(1-e)\Gamma(1-f)}\F32{1+a-d,1+a-e,1+a-f}{1+a-b,1+a-c}1\\
&\qquad+\frac{\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+b-d)\Gamma(1+c-d)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(1+e-d)\Gamma(1+f-d)}\F32{1+a-d,1+b-d,1+c-d}{1+e-d,1+f-d}1\\
&\qquad+\frac{\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1-b)\Gamma(1-c)\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+b-d)\Gamma(1+c-d)}{\Gamma(a)\Gamma(1-d)\Gamma(2+a-e-f)\Gamma(e+f-a-1)\Gamma(e-b)\Gamma(e-c)\Gamma(f-b)\Gamma(f-c)}
\end{align}
${}_4H_4$
Dougallの和公式 の系
\begin{align} &\H44{1+\frac a2,b,c,d}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d}{-1}\\ &=\frac{\Gamma(1-b)\Gamma(1-c)\Gamma(1-d)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1-a)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+a-b-d)\Gamma(1+a-c-d)}\\ &\H44{1+\frac a2,b,c,d}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d}{1}\\ &=\frac{\Gamma(1-b)\Gamma(1-c)\Gamma(1-d)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma\left(\frac{1+3a}2-b-c-d\right)}{\Gamma\left(1+\frac a2\right)\Gamma\left(1-\frac a2\right)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+a-b-d)\Gamma(1+a-c-d)\Gamma\left(\frac{1+a}2-b\right)\Gamma\left(\frac{1+a}2-c\right)\Gamma\left(\frac{1+a}2-e\right)} \end{align}
${}_5H_5$
Dougallの和公式
\begin{align} &\H55{1+\frac a2,b,c,d,e}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e}1\\ &=\frac{\Gamma(1-b)\Gamma(1-c)\Gamma(1-d)\Gamma(1-e)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+2a-b-c-d-e)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1-a)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+a-b-d)\Gamma(1+a-b-e)\Gamma(1+a-c-d)\Gamma(1+a-c-e)\Gamma(1+a-d-e)} \end{align}
${}_6H_6$
Jacksonの和公式
\begin{align} &\H66{1+\frac a2,\frac 12+a-z,z+x,z-x,z+y,z-y}{\frac a2,\frac 12+z,1+a-z-x,1+a-z+x,1+a-z-y,1+a-z+y}{-1}\\ &=\frac{\Gamma(1-z-x)\Gamma(1-z+x)\Gamma(1-z-y)\Gamma(1-z+y)\Gamma\left(\frac 12+z\right)\Gamma\left(\frac 12+z-a\right)}{2^{2a+1-4z}\pi\Gamma(1+a)\Gamma(1-a)\Gamma(1+a-2z)}\\ &\qquad\cdot\frac{\Gamma(1+a-z-x)\Gamma(1+a-z+x)\Gamma(1+a-z-y)\Gamma(1+a-z+y)}{\Gamma\left(1+\frac a2-z+\frac{x}2+\frac y2\right)\Gamma\left(1+\frac a2-z-\frac{x}2+\frac y2\right)\Gamma\left(1+\frac a2-z+\frac{x}2-\frac y2\right)\Gamma\left(1+\frac a2-z-\frac{x}2-\frac y2\right)}\\ &\qquad\cdot(\cos\pi x\cos\pi y+\cos\pi z\cos\pi(z-a)) \end{align}
変換公式
${}_2H_2$
Wei-Yuの変換公式
\begin{align} \H22{b,c}{1+a-b,1+a-c}{x}&=\frac{\Gamma(1-b)\Gamma(1-c)(1+x)^{-a}}{\Gamma(1-a)\Gamma(1+a-b-c)}\H22{\frac a2,\frac{a+1}2}{1+a-b,1+a-c}{\frac{4x}{(1+x)^2}} \end{align}
${}_3H_3$
Thomaeの変換公式の両側類似
\begin{align} &\frac{\Gamma(1+2a-b-c-d)}{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1-e)\Gamma(1-f)\Gamma(1+a-b-d)\Gamma(1+a-c-d)}\\ &\qquad\cdot\H33{1+2a-b-c-d,e,f}{1+a-b,1+a-c,1+a-d}1\\ &+\frac{\Gamma(2+2a-b-c-d)\Gamma(b+c+d-2a-1)\Gamma(1+a-b-c)}{\Gamma(2+2a-b-c-d-e)\Gamma(2+2a-b-c-d-f)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(b-a)\Gamma(c-a)\Gamma(d-a)}\\ &\qquad\cdot\F32{1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-c-d}{2+2a-b-c-d-e,2+2a-b-c-d-f}1\\ &=\frac{\Gamma(1+2a-d-e-f)}{\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1-b)\Gamma(1-c)\Gamma(1+a-d-e)\Gamma(1+a-d-f)}\\ &\qquad\cdot\H33{1+2a-d-e-f,b,c}{1+a-d,1+a-e,1+a-f}1\\ &+\frac{\Gamma(2+2a-d-e-f)\Gamma(d+e+f-2a-1)\Gamma(1+a-e-f)}{\Gamma(2+2a-b-d-e-f)\Gamma(2+2a-c-d-e-f)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(d-a)\Gamma(e-a)\Gamma(f-a)}\\ &\qquad\cdot\F32{1+a-d-e,1+a-d-f,1+a-e-f}{2+2a-b-d-e-f,2+2a-c-d-e-f}1 \end{align}
3項変換公式
\begin{align}
&\frac{\Gamma(1+2a-b-c-d)}{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1-e)\Gamma(1-f)}\H33{1+2a-b-c-d,e,f}{1+a-b,1+a-c,1+a-d}1\\
&=\frac{\Gamma(1+a-b-c-d)}{\Gamma(1-b)\Gamma(1-c)\Gamma(1-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)}\H33{b,c,d}{b+c+d-a,1+a-e,1+a-f}1\\
&\qquad+\frac{\Gamma(2+a-b-c-d)\Gamma(b+c+d-a-1)\Gamma(1+2a-b-c-d)\Gamma(b+c+d-2a)}{\Gamma(a)\Gamma(1-a)\Gamma(b+c-a)\Gamma(b+d-a)\Gamma(c+d-a)\Gamma(2+2a-b-c-d-e)\Gamma(2+2a-b-c-d-f)}\\
&\qquad\cdot\F32{1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-c-d}{2+2a-b-c-d-e,2+2a-b-c-d-f}1
\end{align}
$1+3a=b+c+d+e+f+g$のとき
\begin{align}
&\frac{\Gamma(a)\Gamma(1-a)\Gamma(1+2a-e-f-g)\Gamma(1+a-b-c-d)}{\Gamma(1-b)\Gamma(1-c)\Gamma(1-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1+a-g)}\\
&\qquad\cdot\H33{b,c,d}{1+a-e,1+a-f,1+a-g}1\\
&-\frac{\Gamma(a)\Gamma(1-a)\Gamma(1+2a-b-c-d)\Gamma(1+a-e-f-g)}{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1-e)\Gamma(1-f)\Gamma(1-g)}\\
&\qquad\cdot\H33{e,f,g}{1+a-b,1+a-c,1+a-d}1\\
&=\frac{\Gamma(2+a-e-f-g)\Gamma(e+f+g-a-1)\Gamma(1+2a-e-f-g)\Gamma(e+f+g-2a)}{\Gamma(e+f-a)\Gamma(e+g-a)\Gamma(f+g-a)\Gamma(1+b+c-a)\Gamma(1+b+d-a)\Gamma(1+c+d-a)}\\
&\qquad\cdot\H33{1+a-e-f,1+a-e-g,1+a-f-g}{1+b+c-a,1+b+d-a,1+c+d-a}1
\end{align}
\begin{align} \end{align}
${}_4H_4$
4項変換公式
\begin{align} &\frac{\Gamma(1+2a-b-c-d)\Gamma(1+a-e-f-g)}{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1-e)\Gamma(1-f)\Gamma(1-g)}\\ &\qquad\cdot\H44{1+2a-b-c-d,e,f,g}{e+f+g-a,1+a-b,1+a-c,1+a-d}1\\ &+\frac{\Gamma(2+a-e-f-g)\Gamma(e+f+g-a-1)\Gamma(1+2a-e-f-g)\Gamma(e+f+g-2a)\Gamma(2+3a-b-c-d-e-f-g)}{\Gamma(a)\Gamma(1-a)\Gamma(e+f-a)\Gamma(e+g-a)\Gamma(f+g-a)\Gamma(2+2a-b-e-f-g)\Gamma(2+2a-c-e-f-g)\Gamma(2+2a-d-e-f-g)}\\ &\qquad\cdot\F43{2+3a-b-c-d-e-f-g,1+a-e-f,1+a-e-g,1+a-f-g}{2+2a-b-e-f-g,2+2a-c-e-f-g,2+2a-d-e-f-g}1\\ &=\frac{\Gamma(1+2a-e-f-g)\Gamma(1+a-b-c-d)}{\Gamma(1-b)\Gamma(1-c)\Gamma(1-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1+a-g)}\\ &\qquad\cdot\H44{1+2a-e-f-g,b,c,d}{b+c+d-a,1+a-e,1+a-f,1+a-g}1\\ &+\frac{\Gamma(2+a-b-c-d)\Gamma(b+c+d-a-1)\Gamma(1+2a-b-c-d)\Gamma(b+c+d-2a)\Gamma(2+3a-b-c-d-e-f-g)}{\Gamma(a)\Gamma(1-a)\Gamma(b+c-a)\Gamma(b+d-a)\Gamma(c+d-a)\Gamma(2+2a-b-c-d-e)\Gamma(2+2a-b-c-d-f)\Gamma(2+2a-b-c-d-g)}\\ &\qquad\cdot\F43{2+3a-b-c-d-e-f-g,1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-c-d}{2+2a-b-c-d-e,2+2a-b-c-d-f,2+2a-b-c-d-g}1 \end{align}
${}_6H_6$
Baileyの変換公式
\begin{align} &\H66{1+\frac a2,b,c,d,e,f}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f}{-1}\\ &=\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1-d)\Gamma(1-e)\Gamma(1-f)\Gamma(1+2a-d-e-f)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1-a)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+a-d-e)\Gamma(1+a-d-f)\Gamma(1+a-e-f)}\\ &\qquad\cdot\H33{b,c,1+2a-d-e-f}{1+a-d,1+a-e,1+a-f}1\\ &\qquad+\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1-b)\Gamma(1-c)\Gamma(1-d)\Gamma(1-e)\Gamma(1-f)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1-a)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(d-a)\Gamma(e-a)\Gamma(f-a)}\\ &\qquad\cdot\frac{\Gamma(2+2a-d-e-f)\Gamma(d+e+f-1-2a)}{\Gamma(2+2a-b-d-e-f)\Gamma(2+2a-c-d-e-f)}\\ &\qquad\cdot\F32{1+a-d-e,1+a-d-f,1+a-e-f}{2+2a-b-d-e-f,2+2a-c-d-e-f}1 \end{align}
${}_7H_7$
両側Whippleの変換公式
\begin{align} &\frac{\Gamma(1+a)\Gamma(1-a)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+a-b-d)\Gamma(1+a-c-d)\Gamma(1+a-e-f)\Gamma(1+a-e-g)\Gamma(1+a-f-g)}{\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1+a-g)\Gamma(1-b)\Gamma(1-c)\Gamma(1-d)}\\ &\qquad\cdot\H77{1+\frac a2,b,c,d,e,f,g}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+a-g}{1}\\ &=\Gamma(1+2a-b-c-d)\Gamma(1+a-e-f-g)\H44{1+2a-b-c-d,e,f,g}{e+f+g-a,1+a-b,1+a-c,1+a-d}1\\ &\qquad+\frac{\Gamma(2+2a-b-c-d)\Gamma(b+c+d-2a-1)\Gamma(1+3a-b-c-d-e-f-g)}{\Gamma(2+2a-b-c-d-e)\Gamma(2+2a-b-c-d-f)\Gamma(2+2a-b-c-d-g)}\\ &\qquad\cdot\frac{\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+a-b-d)\Gamma(1+a-c-d)\Gamma(1-e)\Gamma(1-f)\Gamma(1-g)}{\Gamma(b-a)\Gamma(c-a)\Gamma(d-a)}\\ &\qquad\cdot\F43{2+3a-b-c-d-e-f-g,1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-c-d}{2+2a-b-c-d-e,2+2a-b-c-d-f,2+2a-b-c-d-g}1\\ &\qquad+\frac{\Gamma(2+a-e-f-g)\Gamma(e+f+g-a-1)\Gamma(2+3a-b-c-d-e-f-g)}{\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(g)}\\ &\qquad\cdot\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e-f)\Gamma(1+a-e-g)\Gamma(1+a-f-g)}{\Gamma(2+2a-b-e-f-g)\Gamma(2+2a-c-e-f-g)\Gamma(2+2a-d-e-f-g)}\\ &\qquad\cdot\F43{2+3a-b-c-d-e-f-g,1+a-e-f,1+a-e-g,1+a-f-g}{2+2a-b-e-f-g,2+2a-c-e-f-g,2+2a-d-e-f-g}1 \end{align}
あとがき
両側超幾何級数に関しては, 通常の一般超幾何級数に関する 和公式 や 変換公式 と比べるとまだまだ分かっていないことも多い. それらは今後の研究課題である.
