モナドは計算機科学や物理学などの分野でしばしば登場するため,その名前を聞いたことのある人は多いかもしれません。モノイドを一般化したモノイド対象という概念があり,モノイド対象の特別な場合としてモナドが定義できます。この記事では,モナドの定義として,モノイド対象に基づいた定義とより直接的な定義の2通りの方法を紹介します。
#1:
圏の定義と具体例
#2:
関手と自然変換
#3:
垂直合成と水平合成
#4:
モノイダル圏
#5: モナドとは自己関手の圏におけるモノイド対象のこと(この記事)
#6:
モナドの例
#7:
随伴
#8:
関手を表す線の順序の交換
#9:
普遍射と随伴・極限・カン拡張
#10:
ホム関手のストリング図(前編)
#11:
ホム関手のストリング図(後編)
#12:
米田の補題
番外編1:
視覚的に理解するクライスリトリプルとモナドの同値性
番外編2:
線形代数の圏論的な性質(?)を圏論なしで説明する
まず, 第1回の記事 で紹介したモノイドの定義を改めて明記します。
集合
(1)結合律:
(2)単位律:
結合律は次の図式で表せます(
結合律
ただし,補助線(破線)で囲まれた丸は積
(1)結合律:
結合律(別表現)
ただし,恒等写像
式
式
のように3個の領域に分けたとき,上側・左下側・右下側の領域がそれぞれ
また,単位律は次の図式で表されます。
単位律
ただし,補助線で囲まれた丸は単位元
写像
(2)単位律:
単位律(別表現)
この図式は,式
モノイド
モノイダル圏
(1)結合律:
結合律
(2)単位律:
単位律
なお,線はすべて対象
この定義から,モノイド
ベクトル空間の圏
モナドは,モノイド対象の特別な場合として次のように定義できます。
(モノイダル圏としての)自己関手の圏
モノイド対象の定義を用いてより直接的な定義に書き換えると,次のようになります。
関手
(1)結合律:
結合律
(2)単位律:
単位律
なお,線はすべて関手
モノイド対象という観点からモナドの定義を紹介しました。圏論では,結合律と単位律というモノイド的な規則がしばしば登場します。この観点では,モナドとはモノイド的な振る舞いをする自己関手のことだといえるかもしれません。次回の記事では,モナドの例を紹介します。