【ストリング図で学ぶ圏論 #7】随伴

はじめに

随伴は，圏論における基礎的な概念の一つであり，数学のいたるところで現れます。また， 第5回 と 第6回 の記事で述べたモナドは，随伴と密接な関係にあります。この記事では，随伴の2通りの同値な定義を紹介し，またモナドと随伴の関係などについて述べます。

本連載の目次

#1： 圏の定義と具体例
#2： 関手と自然変換
#3： 垂直合成と水平合成
#4： モノイダル圏
#5： モナドとは自己関手の圏におけるモノイド対象のこと
#6： モナドの例
#7： 随伴（この記事）
#8： 関手を表す線の順序の交換
#9： 普遍射と随伴・極限・カン拡張
#10： ホム関手のストリング図（前編）
#11： ホム関手のストリング図（後編）
#12： 米田の補題
番外編1： 視覚的に理解するクライスリトリプルとモナドの同値性
番外編2： 線形代数の圏論的な性質（？）を圏論なしで説明する

随伴の定義

定義1：2個の自然変換を用いた定義

随伴は次のように定義されます。慣れないうちはこの定義のココロを理解することは難しいと思いますが，気にせずに読み進めてください。

なお，恒等関手$1_{\mathcal{C}},1_{\mathcal{D}}$や恒等自然変換$1_F,1_G$については 第2回の記事 を，垂直合成$\circ$と水平合成$\bullet$については 第3回の記事 をご参照ください。

単位$\eta :1_{\mathcal{C}}\Rightarrow G\bullet F$と余単位$\epsilon :F\bullet G\Rightarrow 1_{\mathcal{D}}$を，それぞれ次の図式の右辺のように表すことにします。

単位$\eta$と余単位$\epsilon$

ただし，図式では恒等関手$1_{\mathcal{C}}$や$1_{\mathcal{D}}$を表す線は省略しています（直観的には，恒等関手は「何もしない」関手であり，省略しても問題は生じません）。このとき，式$\text{(1)}$は次式のように表されます。

ジグザグ等式 $$\begin{array}{}\text{(2)}& \end{array}$$

なお，この式の1番左の式は$(1_G\bullet \epsilon )\circ (\eta \bullet 1_G)$を表していますが，このことは

$(1_G\bullet \epsilon )\circ (\eta \bullet 1_G)$

のように補助線を引いて4個の領域に分割すればわかりやすいと思います。左上・右上・左下・右下の領域がそれぞれ$1_G,\epsilon ,\eta ,1_G$を表しており，これらの合成（水平合成・垂直合成）として$(1_G\bullet \epsilon )\circ (\eta \bullet 1_G)$を表しています。

式$\text{(2)}$（と式$\text{(1)}$）はジグザグ等式のようによばれます。この図式は，直観的には「ジグザグした（＝くねくねと曲がった）線は真っ直ぐに伸びた線に等しい」と解釈できます。

定義2：自然な可逆写像を用いた定義

定義1と同値な定義を紹介します。

式$\text{(3)}$では，集合$\mathcal{D}(Fc,d)$（つまり$Fc$から$d$への射の全体）と集合$\mathcal{C}(c,Gd)$（つまり$c$から$Gd$への射の全体）の間には可逆写像があることを主張しています。また，式$\text{(4)}$をすぐに理解することは困難かもしれませんが，この式はこれらの可逆写像の間に「自然な性質」が成り立っていることを主張しています。

定義1$\Rightarrow$定義2の導出

ここでは，定義1で定められた随伴$⟨F,G,\eta ,\epsilon ⟩$から定義2を満たす随伴$⟨F,G,\phi ⟩$を導けることを示します。各$c\in \mathcal{C},d\in \mathcal{D}$について，写像${\phi }_{c,d}$を

$${\phi }_{c,d}:\mathcal{D}(Fc,d)\ni f\mapsto Gf\circ {\eta }_c\in \mathcal{C}(c,Gd)$$

と定めます。図式で表すと次のようになります。

${\phi }_{c,d}(f)=Gf\circ {\eta }_c$

また，写像${\psi }_{c,d}$を

$${\psi }_{c,d}:\mathcal{C}(c,Gd)\ni g\mapsto {\epsilon }_d\circ Fg\in \mathcal{D}(Fc,d)$$

と定めます。図式では次のように表されます。

${\psi }_{c,d}(g)={\epsilon }_d\circ Fg$

このとき，${\psi }_{c,d}$が${\phi }_{c,d}$の逆写像であることを容易に確認できます。実際，${\psi }_{c,d}\circ {\phi }_{c,d}$が恒等写像であることは，各$f\in \mathcal{D}(Fc,d)$について次式が成り立つことからわかります。

${\psi }_{c,d}({\phi }_{c,d}(f))=f$の証明

補助線で囲まれた箇所は${\phi }_{c,d}(f)$です。2行目の最初の等号では余単位$\epsilon$を下に移動させており，最後の等号ではジグザグ等式（式$\text{(2)}$）を用いています。

式$\text{(4)}$が成り立つことは，次式からわかります（単位$\eta$を下に移動させているだけです）。

式$\text{(4)}$

ここでは「定義1$\Rightarrow$定義2」を示しましたが，この逆も容易に示せます（拙著[1]で説明しています）。

随伴が導くモナド

任意の随伴からモナドが得られることが知られています。

このモナドは，随伴$⟨F,G,\eta ,\epsilon ⟩$が導くモナドとよばれます。

なお，この命題の逆として，任意のモナド$⟨T,\mu ,\eta ⟩$はある随伴$⟨F,G,\eta ,\epsilon ⟩$が導くモナドになっていることが知られています（拙著[1]で説明しています）。

随伴は圏同値の一般化

次の命題が示すように，2個の圏$\mathcal{C}$と$\mathcal{D}$が圏同値とよばれる関係にあれば，そこから随伴が得られます。この意味で，随伴は圏同値の一般化といえます。

まとめ

随伴の定義を示した後，随伴とモナドの関係を紹介しました。また，随伴は圏同値の一般化とみなせることを述べました。

今回の記事で示した図式は，慣れれば直観的に理解できることと思います。随伴に関するほかの多くの性質も，同様に視覚的にわかりやすい形で示せます。