自作問題まとめ

はじめに

過去に作問した問題の一覧となります。積分や級数を解きたくなった時にぜひ活用ください。
横に解説と書いてある問題は既に解説記事を書いたものです。クリックすれば解説ページに飛びます。
注意ですが、問題は難易度順には並んでいません。

級数

1.$\d\sum_{n=1}^\infty\frac{H_nH_{n-1}}{n^2}$ 解説

2.$\d\sum_{0\f a\f b}\frac{(-1)^b}{a^2b} $ 解説

3.$\d\sum_{0\f a\f b}\frac1{ab^22^b} $ 解説

4.$\d\sum_{0\le n,k}\frac{(-1)^{n+k}}{(2n+1)(2k+1)(2n+2k+1)} $ 解説

5.$\d\sum_{n=3}^\infty\frac{(-1)^nF_{2n}}{F_n^4-1} $ 解説

6.$\d\sum_{n=1}^\infty \frac{(4n)!}{(n-1)!(n+2)!(2n)!2^{6n}} $

7.$\d\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{1+\pi^2n^2} $

8.$\d\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2-1} $

9.$\d\sum_{n=1}^\infty\frac{\text{Ci}(\pi n)}{\pi^2n^2} $

10.$\d\sum_{n=1}^\infty\binom{2n}n\frac1{n(n+1)2^{2n}} $

11.$\d\sum_{n=1}^\infty\frac{\text{Si}(\pi^3n^3)}{\pi^3n^3} $

12.$\d\sum_{n=1}^\infty\frac{H_n^2}{n^3} $

13.$\d\sum_{n=0}^\infty\frac{n^3}{\binom{2n}n} $

14.$\d\sum_{n=1}^\infty\l\frac1{(2n-1)^2}-\frac1{(2n)^2} \r\psi(n) $

15.$\d\sum_{0\f n\f k}\frac1{(2n-1)^2(2k-1)^2} $

16.$\d\sum_{n=1}^\infty\text{Li}_3\l-e^{-(2n+1)\pi}\r $

17.$\d\sum_{n=1}^\infty\frac{\psi'(n)}{n^2\binom{2n}n} $

18.$\d\sum_{n=1}^\infty \l\z(6n)-1 \r $

19.$\d\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n\z(2n)}{2^{2n}} $

20.$\d\sum_{n=1}^\infty\l2-(2n+1)\log\l1+\frac1n\r \r $

21.$\d\sum_{p:prime}\frac{\log p}{p^2-1} $

22.$\d\sum_{n=0}^\infty\frac{3n^2-1}{(2n+1)\binom{2n}n} $

23.$\d\sum_{n=1}^\infty\frac{2F_{n+1}^2-F_n^2}{F_nF_{n+1}F_{n+2}F_{n+3}} $

24.$\d\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n\eta(n)}n $

25.$\d\sum_{n=1}^\infty\psi^{(2)}\l\frac n2\r $

26.$\d\sum_{n=0}^\infty\frac{(4n)!H_{n+1}}{n!(n+1)!(2n)!2^{6n}} $

27.$\d\sum_{n=0}^\infty\binom{2n}n^2\frac{H_n}{(n+1)2^{4n}} $

28.$\d\sum_{n=0}^\infty\binom{2n}n\frac1{(2n+1)2^{4n}} $

29.$\d\sum_{0< n}\frac1n\sum_{\substack{ 0< k \\ n\neq k}}\frac1{n^2-k^2}$

積分

1.$\d\i\infty\frac{\sin x}{\sinh x}dx$ 解説

2.$\d\i{\frac\pi2}\frac{\cos x\sqrt{\log\tan x}}{\sin^3 x}dx $ 解説

3.$\d\int_0^\infty\log\l\frac{e^x}{e^x-1} \r dx$ 解説

4.$\d\int_0^\infty\frac1{\sqrt x(x+1)}dx $ 解説

5.$\d\int_0^1 \frac{\log\l\frac{1+x}{1-x}\r}xdx$ 解説

6.$\d\int_0^{\frac\pi2}e^{-\frac\pi2\tan x}dx $ 解説

7.$\d\i\infty\frac{e^{-x}\sin^2x}xdx $ 解説

8.$\d\i{\frac\pi2}\cos\log\tan xdx $ 解説

9.$\d\i{\frac\pi2}\frac{\arctan\frac{\tan x}{\cos x} }{\cos x} $ 解説

10.$\d\i\infty\frac{\sin \pi x}{xe^x}dx $ 解説

11.$\d\i{\frac\pi2}\frac1{1+\cos^4x}dx $ 解説

12.$\d\i{\frac\pi2}\frac{\log\cos x}{\cos x}dx $ 解説

13.$\d\i{\frac\pi2}\frac{\arctan^2x}{x^2}dx $ 解説

14.$\d\i{\frac\pi2}\frac{\arctan x^2}{x^2}dx $ 解説

15.$\d\i\infty \frac{e^{\frac16x}+e^{\frac56x}-2e^{\frac12x}}{x(e^x-1)}dx$

16.$\d\i\infty\frac{x^2e^{\frac12x}}{e^x+1}dx $

17.$\d\i\infty\frac{1-\tanh x}{\sqrt{\tanh x}} dx $

18.$\d\i{\frac\pi2}\frac{\sin\log\tan x}{\log \tan x}dx $

19.$\d\i\infty\frac1{\sqrt x(x+1)}dx$

20.$\d\i1\frac{\log x}{\sqrt x(x+1)}dx $

21.$\d\i\infty\log\l1-e^{-x}\r dx$

22.$\d\i1\frac{\log x}{\sqrt x-x}dx $

23.$\d\i\infty\frac{\log(x+1)}{x\sqrt[4]x}dx $

24.$\d\i{\frac\pi2}\frac{\cos\log\tan x\log\cos x}{\sin^2x}dx $

25.$\d\i1x\log\log\frac1xdx $

26.$\d\i\infty\frac{\log x\log(1+x)}{x(1+x)} $

27.$\d\i\infty\frac{\cos x\arctan x}xdx$

28.$\d\int_{-1}^0\frac{\text{Li}_2(x)}{1-x} $

29.$\d\i1\frac{\log x\log(1+x)}{x(1-x)}dx $

30.$\d\i{\frac\pi2}\frac{\log\cos x}{\tan x}dx $

31.$\d\i1\frac{\text{Li}_2(x)\log x}{x(1+x)}dx $

32.$\d\i1\frac{\log^3x\text{Li}_4(x) }{1-x}dx $

33.$\d\i{\frac12}\frac{\text{arsinh}^2x}xdx $

34.$\d\i\infty\frac{I_0(\sqrt x)}{e^x}dx $

35.$\d\i\infty\frac{x\log\tanh x}{\tanh x}dx $

36.$\d\i\infty x\log\tanh xdx $

37.$\d\i{\frac\pi2}x\log2\sin xdx$

38.$\d\i{\frac\pi2}x^2\log2\sin xdx$

39.$\d\i{\frac\pi2}\frac{\sin\frac x2}{\sqrt{\cos x}\text{artanh}\sin x}dx $

40.$\d\i\infty e^{-x}\log^2xdx $

41.$\d\i1\l\frac x{\log x}+\frac1{1-x} \r dx$

42.$\d\i1\frac{\gamma(x)\log^2x}xdx $

43.$\d\i\infty\frac{\sin x}{1+e^{\pi x}}dx $

44.$\d\i{\frac\pi2}\tan x\log\sin x\log\cos xdx $

45.$\d\i\infty\frac{\sin^3x}{x(1+\sin^4x)}dx $

46.$\d\i1\text{li}(x)\cos\log xdx $

47.$\d\i\infty\frac{\sin x\log^2\sin x}{\cos^3x}dx $

48.$\d\i{\frac\pi2}\frac{1+2\cos 2x}{3+\cos4x}dx $

49.$\d\i\infty\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x^3-1)}dx $

50.$\d\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\text{arcoth}\sqrt{x^2+\pi^2}}{\sqrt{x^2+\pi^2}}dx $

51.$\d\i\infty\l\frac{\text{artanhsech}x}{\text{sech}x}-1 \r dx $

52.$\d\i{\frac\pi2}\log\l\frac9{16}+x^2 \r dx$

53.$\d\i1\l\frac1{2(1-x)}-\frac1{(1-x)\log x}-\frac1{\log^2x} \r dx$

最後に

今後まだ解説を書いていないものの解説を書いていくつもりです。