q超幾何級数の変換公式まとめ

前の記事 で$q$超幾何級数の和公式をまとめた. 今回は$q$超幾何級数の変換公式をまとめたいと思う. 今回は両側$q$超幾何級数, $q$超幾何級数の積が現れるものは扱わない. 前の記事 の記法を今回も用いる. また, $N$は非負整数であるとする.

${}_0\phi_1$

Heineの変換公式 の系

\begin{align} \Q01{-}{a}{ax}&=(x;q)_{\infty}\Q21{0,0}{a}x \end{align}

${}_1\phi_1$

Heineの変換公式 , Jacksonの変換公式 の系

\begin{align} \Q11{c/a}{c}{ax}&=(x;q)_{\infty}\Q21{a,0}{c}{x}\\ \Q11{c/a}{c}{x}&=(x;q)_{\infty}\Q12{a}{c,x}{\frac{cx}a}\\ \Q11{b/a}b{c}&=\frac{(c;q)_{\infty}}{(b;q)_{\infty}}\Q11{c/a}{c}{b} \end{align}

${}_2\phi_1$

Heineの変換公式

\begin{align} \Q21{a,b}{c}{x}&=\frac{(b,ax;q)_{\infty}}{(c,x;q)_{\infty}}\Q21{c/b,x}{ax}b\\ &=\frac{(c/b,bx;q)_{\infty}}{(c,x;q)_{\infty}}\Q21{abx/c,b}{bx}{\frac cb}\\ &=\frac{(abx/c;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\Q21{c/a,c/b}{c}{\frac{abx}c} \end{align}

Jacksonの変換公式

\begin{align} \Q21{a,b}{c}{x}&=\frac{(ax;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\Q22{a,c/b}{c,ax}{bx} \end{align}

Jacksonの変換公式

\begin{align} \Q21{a,b}{c}{x}&=\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c,c/ab;q)_{\infty}}\Q32{a,b,abx/c}{abq/c,0}{q}\\ &\qquad+\frac{(a,b,abx/c;q)_{\infty}}{(c,ab/c,x;q)_{\infty}}\Q32{c/a,c/b,x}{cq/ab,0}{q} \end{align}
特に,
\begin{align} \Q21{a,q^{-N}}{c}{x}&=\frac{(c/a;q)_N}{(c;q)_N}\Q32{a,q^{-N},axq^{-N}/c}{aq^{1-N}/c,0}{q} \end{align}

Jainの二次変換公式

\begin{align} \Q21{a,aq}{b^2q}{q^2;x^2}&=\frac{(ax;q^2)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\Q32{a,b,-b}{b^2,ax}{-x} \end{align}

Gasper-Rahmanの二次変換公式

\begin{align} &\Q21{a,b}{aq/b}{\frac{xq}{b^2}}\\ &=\frac{(xq/b,ax^2q/b^2;q)_{\infty}}{(axq/b,x^2q/b^2;q)_{\infty}}\Q87{ax/b,q\sqrt{ax/b},-q\sqrt{ax/b},x,\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}}{\sqrt{ax/b},-\sqrt{ax/b},aq/b,\sqrt a xq/b,-\sqrt axq/b,\sqrt{aq} x/b,-\sqrt{aq} x/b}{\frac{xq}{b^2}}\\ &\Q21{a^2,b^2}{a^2q^2/b^2}{q^2;\frac{x^2q^2}{b^4}}\\ &=\frac{(aq/b^2,x^2q/b^2;q)_{\infty}}{(ax^2q/b^2,a^2q/b^2;q)_{\infty}}\frac{(a^2x^2q/b^2,a^2x^2q^2/b^4;q^2)_{\infty}}{(x^2q/b^2,x^2q^2/b^4;q^2)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q87{ax^2/b^2,q\sqrt{ax^2/b^2},-q\sqrt{ax^2/b^2},a,x,-x,x\sqrt q/b,-x\sqrt q/b}{\sqrt{ax^2/b^2},-\sqrt{ax^2/b^2},x^2q/b^2,axq/b^2,-axq/b^2,ax\sqrt q/b,-ax\sqrt q/b}{\frac{aq}{b^2}} \end{align}

三項変換公式

\begin{align} \Q21{a,b}{c}{x}&=\frac{(abx/c,q/c;q)_{\infty}}{(q/a,ax/c;q)_{\infty}}\Q21{c/a,cq/abx}{cq/ax}{\frac{bq}c}\\ &\qquad-\frac{(q/c,b,c/a,ax/q,q^2/ax;q)_{\infty}} {(c/q,bq/c,q/a,ax/c,cq/ax;q)_{\infty}}\Q21{aq/c,bq/c}{q^2/c}{x} \end{align}

${}_2\phi_2$

Jainの二次変換公式

\begin{align} \Q22{a^2,b^2}{a^2b^2q,a^2x^2}{q^2;a^2x^2q}&=\frac{(-a^2x,x;q)_{\infty}}{(a^2x^2;q^2)_{\infty}}\Q32{a^2,ab,-ab}{a^2b^2,-a^2x}{x} \end{align}

三項変換公式

\begin{align} \Q21{a,b}cx&=\frac{(b,c/a,ax;q)_{\infty}}{(b/a,c,x;q)_{\infty}}\Q32{a,c/b,0}{aq/b,ax}q\\ &\qquad+\frac{(a,c/b,bx;q)_{\infty}}{(a/b,c,x;q)_{\infty}}\Q32{b,c/a,0}{bq/a,bx}q \end{align}

${}_3\phi_2$

Sears-Thomaeの変換公式

\begin{align} \Q32{a,b,c}{d,e}{\frac{de}{abc}}&=\frac{(e/a,de/bc;q)_{\infty}}{(e,de/abc;q)_{\infty}}\Q32{a,d/b,d/c}{d,de/bc}{\frac ea}\\ &=\frac{(b,de/ab,de/bc;q)_{\infty}}{(d,e,de/abc;q)_{\infty}}\Q32{d/b,e/b,de/abc}{de/ab,de/bc}{b} \end{align}

Sears-Carlitzの変換公式

$a=q^{-N}$のとき,
\begin{align} \Q32{a,b,c}{aq/b,aq/c}{\frac{axq}{bc}}&=\frac{(ax;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\Q54{aq/bc,\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}}{aq/b,aq/c,ax,q/x}{q} \end{align}

Gasper-Rahmanによるnon-terminating Sears-Carlitzの変換公式

\begin{align} &\Q32{a,b,c}{aq/b,aq/c}{\frac{axq}{bc}}\\ &=\frac{(ax;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\Q54{aq/bc,\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}}{aq/b,aq/c,ax,q/x}q\\ &\qquad+\frac{(a,aq/bc,axq/b,axq/c;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,axq/bc,1/x;q)_{\infty}}\Q54{axq/bc,x\sqrt a,-x\sqrt a,x\sqrt{aq},-x\sqrt{aq}}{axq/b,axq/c,xq,ax^2}q \end{align}

Jainの二次変換公式 ( Singhの二次変換公式 の系)

$a,b$のいずれかが$q^{-N}$のとき,
\begin{align} \Q32{a^2,b^2,x}{ab\sqrt q,-ab\sqrt q}{q}&=\Q32{a^2,b^2,x^2}{a^2b^2q,0}{q^2;q^2} \end{align}

三項変換公式

\begin{align} \Q32{a,b,c}{d,e}{\frac{de}{abc}}&=\frac{(e/b,e/c;q)_{\infty}}{(e,e/bc;q)_{\infty}}\Q32{d/a,b,c}{d,bcq/e}{q}\\ &\qquad+\frac{(d/a,b,c,de/bc;q)_{\infty}}{(d,e,bc/e,de/abc;q)_{\infty}}\Q32{e/b,e/c,de/abc}{de/bc,eq/bc}q \end{align}

三項変換公式

\begin{align} &\Q32{a,b,c}{d,e}{\frac{de}{abc}}\\ &=\frac{(e/b,e/c,cq/a,q/d;q)_{\infty}}{(e,cq/d,q/a,e/bc;q)_{\infty}}\Q32{c,d/a,cq/e}{cq/a,bcq/e}{\frac{bq}d}\\ &\qquad-\frac{(q/d,eq/d,b,c,d/a,de/bcq,bcq^2/de;q)_{\infty}} {(d/q,e,bq/d,cq/d,q/a,e/bc,bcq/e;q)_{\infty}}\Q32{aq/d,bq/d,cq/d}{q^2/d,eq/d}{\frac{de}{abc}}\\ &=\frac{(e/b,e/c,bq/a,cq/a,q/d,abcq/de;q)_{\infty}}{(e,bq/d,cq/d,q/a,e/bc,bcq/e;q)_{\infty}}\Q32{q/a,d/a,e/a}{bq/a,cq/a}{\frac{abcq}{de}}\\ &\qquad-\frac{(q/d,eq/d,b,c,d/a,de/bcq,bcq^2/de;q)_{\infty}} {(d/q,e,bq/d,cq/d,q/a,e/bc,bcq/e;q)_{\infty}}\Q32{aq/d,bq/d,cq/d}{q^2/d,eq/d}{\frac{de}{abc}} \end{align}

三項変換公式

\begin{align} \Q32{a,b,c}{d,e}{\frac{de}{abc}}&=\frac{(a,d/c,e/c,de/ab;q)_{\infty}}{(de/abc,d,e,a/c;q)_{\infty}}\Q32{c,d/a,e/a}{de/ab,cq/a}{q}\\ &\qquad+\frac{(c,d/a,e/a,de/bc;q)_{\infty}}{(de/abc,d,e,c/a;q)_{\infty}}\Q32{a,d/c,e/c}{de/bc,aq/c}{q}\\ &=\frac{(d/a,d/b,d/c;q)_{\infty}}{(de/abc,d,d/e;q)_{\infty}}\Q32{e/a,e/b,e/c}{e,eq/d}{q}\\ &\qquad+\frac{(e/a,e/b,e/c;q)_{\infty}}{(de/abc,e,e/d;q)_{\infty}}\Q32{d/a,d/b,d/c}{d,dq/e}{q} \end{align}

Gasper-Rahmanの変換公式

\begin{align} &\Q32{x^2,y^2,a^2}{a^2b^2,x^2y^2b^2}{q^2;b^2q}\\ &=\frac{(-a,ab^2;q)_{\infty}(b^2;q^2)_{\infty}}{(-1,b^2;q)_{\infty}(a^2b^2;q^2)_{\infty}}\Q54{a,bx,-bx,by,-by}{-q,ab^2,bxy,-bxy}{q}\\ &\qquad+\frac{(a,-ab^2;q)_{\infty}(b^2;q^2)_{\infty}}{(-1,b^2;q)_{\infty}(a^2b^2;q^2)_{\infty}}\Q54{-a,bx,-bx,by,-by}{-q,-ab^2,bxy,-bxy}{q} \end{align}

${}_4\phi_3$

Searsの変換公式

$abcq^{1-N}=def$のとき,
\begin{align} \Q43{a,b,c,q^{-N}}{d,e,f}{q}&=\frac{(e/a,f/a;q)_N}{(e,f;q)_N}a^N\Q43{a,d/b,d/c,q^{-N}}{d,aq^{1-N}/e,aq^{1-N}/f}{q}\\ &=\frac{(b,de/ab,de/bc;q)_N}{(d,e,de/abc;q)_N}\Q43{d/b,e/b,de/abc,q^{-N}}{de/ab,de/bc,q^{1-N}/b}{q} \end{align}

Singhの二次変換公式

$a,b,c,d$のいずれかが$q^{-N}$のとき,
\begin{align} \Q43{a^2,b^2,c,d}{ab\sqrt q,-ab\sqrt q,-cd}{q}&=\Q43{a^2,b^2,c^2,d^2}{a^2b^2q,-cd,-cdq}{q^2;q^2} \end{align}

Chuの変換公式の$q$類似

\begin{align} &\Q43{a^2q^{2N}/c^2,c,cq,q^{-2N}}{a^2q^2/e^2,e,eq}{q^2;q^2}\\ &=\frac{(e/c,-aq/ce;q)_N}{(e,-aq/e;q)_N}c^N\Q43{-aq^N/c,c,ce/a,q^{-N}}{aq/e,eq^N,-ceq^{-N}/a}{q}\\ &=\frac{(e/c,aq/ce;q)_N}{(e,aq/e;q)_N}c^N\Q43{c,aq^N/c,q^{-N},-ce/a}{eq^N,ceq^{-N}/a,-aq/e}q \end{align}

Baileyのnearly-poised変換公式 の系

$w=a^2q/bcd$とするとき,
\begin{align} &\Q43{a,b,c,d}{aq/b,aq/c,aq/d}{\frac{w^2q}{a^2}}\\ &=\frac{(wq/a,w^2q/a;q)_{\infty}}{(wq,w^2q/a^2;q)_{\infty}}\Q{10}{9}{w,\sqrt wq,-\sqrt wq,wb/a,wc/a,wd/a,\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}}{\sqrt w,-\sqrt w,aq/b,aq/c,aq/d,wq/\sqrt a,-wq/\sqrt a,w\sqrt{q/a},-w\sqrt{q/a}}{\frac{wq}a}\\ \end{align}

Non-terminating Searsの変換公式

\begin{align} &\Q43{a,b,c,d}{e,f,abcdq/ef}{q}\\ &\qquad+\frac{(a,b,c,d,e^2f/abcd,ef^2/abcd,ef/abcd;q)_{\infty}}{(e,f,ef/abc,ef/abd,ef/acd,ef/bcd,abcd/ef;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q43{ef/abc,ef/abd,ef/acd,ef/bcd}{e^2f/abcd,ef^2/abcd,efq/abcd}{q}\\ &=\frac{(a,e/d,f/d,ef/ab,ef/ac,ef/abcd;q)_{\infty}}{(ef/abc,ef/abd,ef/acd,e,f,a/d;q)_{\infty}}\Q43{d,e/a,f/a,ef/abc}{ef/ab,ef/ac,dq/a}{q}\\ &\qquad+\frac{(d,e/a,f/a,ef/bd,ef/cd,ef/abcd;q)_{\infty}}{(ef/abd,ef/acd,ef/bcd,e,f,d/a;q)_{\infty}}\Q43{a,e/d,f/d,ef/bcd}{ef/bd,ef/cd,aq/d}{q} \end{align}

${}_5\phi_4$

Baileyのnearly-poised変換公式

$w=a^2q/bcd$とするとき,
\begin{align} &\Q54{a,b,c,d,q^{-N}}{aq/b,aq/c,aq/d,a^2q^{-N}/w^2}{q}\\ &=\frac{(wq/a,w^2q/a;q)_N}{(wq,w^2q/a^2;q)_N}\Q{12}{11}{w,\sqrt wq,-\sqrt wq,wb/a,wc/a,wd/a,\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq},w^2q^{N+1}/a,q^{-N}}{\sqrt w,-\sqrt w,aq/b,aq/c,aq/d,wq/\sqrt a,-wq/\sqrt a,w\sqrt{q/a},-w\sqrt{q/a},aq^{-N}/w,wq^{N+1}}q \end{align}

Verma-Jainの変換公式

$w=a^2q/bcd,f= a^2e/w^2$とするとき,
\begin{align} &\Q54{a,b,c,d,e}{aq/b,aq/c,aq/d,f}{q}\\ &\qquad+\frac{(a,b,c,d,e,q/f,aq^2/bf,aq^2/cf,aq^2/df;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,f/q,aq/f,bq/f,cq/f,dq/f,eq/f;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot \Q54{aq/f,bq/f,cq/f,dq/f,eq/f}{q^2/f,aq^2/bf,aq^2/cf,aq^2/df}q\\ &=\frac{(w q/a,w q/e,w^2q/a,q/f;q)_{\infty}}{(wq,aq/f,eq/f,aq/w f;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot W(w;\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq},w b/a,w c/a,w d/a,e,aq/f;q)\\ &\qquad+\frac{(a,e,w b/a,w c/a,w d/a,q/f,bcq/f,bdq/f,cdq/f,aq^3/f^2;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/f,bq/f,cq/f,dq/f,eq/f,w f/aq,a^2q^3/w f^2;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot W(a^2q^2/wf^2;a^{\frac 32}q/w f,-a^{\frac 32}q/w f,(aq)^{\frac 32}/w f,-(aq)^{\frac 32}/w f,w q/a,aq/f,bq/f,cq/f,dq/f;q) \end{align}

${}_6\phi_5$

Baileyの変換公式の系

$n$が非負整数, $w=ef/q, q^{3-4n}=bcdef$のとき,
\begin{align} &\Q65{q^{-2n},b,c,d,e,f}{q^{2-2n}/b,q^{2-2n}/c,q^{2-2n}/d,q^{2-2n}/e,q^{2-2n}/f}{q^2;q^2}\\ &=\frac{(-q,e,f;q)_n(ef;q^2)_n}{(e,f;q^2)_n(ef;q)_n}q^{-n}W(w;wbq^{2n},wcq^{2n},wdq^{2n},e,f,q^{-n},q^{1-n};q^2;q^2) \end{align}

Baileyのnearly-poised変換公式 の系

$w=a^2q/bcd$とするとき,
\begin{align} &\Q65{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d}{\frac{w^2}{a^2q}}\\ &=\frac{(w/aq,w^2/aq;q)_{\infty}}{(wq,w^2/a^2q;q)_{\infty}}\Q{10}{9}{w,\sqrt wq,-\sqrt wq,wb/a,wc/a,wd/a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq},\sqrt aq,-\sqrt aq}{\sqrt w,-\sqrt w,aq/b,aq/c,aq/d,w\sqrt{q/a},-w\sqrt{q/a},w/\sqrt a,-w/\sqrt a}{\frac{w}{aq}} \end{align}

${}_7\phi_6$

Baileyの変換公式の系

$n$が非負整数, $w=a^2q/bcd, a^2q^{n+\frac 32}=bcde$のとき,
\begin{align} &\Q{7}6{a,-\sqrt aq,b,c,d,e,q^{-n}}{-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq^{n+1}}q\\ &=\frac{(aq,\sqrt q,w\sqrt {q/a},wq/\sqrt a;q)_n}{(\sqrt{aq},\sqrt aq,wq,w\sqrt q/a;q)_n}\Q{10}9{w,\sqrt wq,-\sqrt wq,wb/a,wc/a,wd/a,e,\sqrt a,\sqrt{aq},q^{-n}}{\sqrt w,-\sqrt w,aq/b,aq/c,aq/d,wq/e,wq/\sqrt a,w\sqrt{q/a},wq^{n+1}}q \end{align}

$w=bfq^{-\frac 12}, a^2q^{\frac 32}=bcdef$とするとき,
\begin{align} &\Q{7}6{a,-\sqrt aq,b,c,d,e,f}{-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f}q\\\\ &\quad+\frac{(1-\sqrt a)(aq,b/a,c,d,e,f,bq/c,bq/d,bq/e,bq/f;q)_{\infty}}{(1-b/\sqrt a)(b^2q/a,a/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,bc/a,bd/a,be/a,bf/a;q)_{\infty}}\\ &\quad\qquad\cdot\,\Q76{b^2/a,-bq/\sqrt a,b,bc/a,bd/a,be/a,bf/a}{-b/\sqrt a,bq/a,bq/c,bq/d,bq/e,bq/f}q\\ &=\frac{(aq,b/a,wq/f,wq/\sqrt a,w \sqrt{q/a},bf/w,b\sqrt a/w,b\sqrt{aq}/w;q)_{\infty}}{(wq,b/w,aq/f,\sqrt aq,\sqrt{aq},bf/a,b/\sqrt a,b\sqrt{q/a};q)_{\infty}}W(w;b,wc/a,wd/a,we/a,f,\sqrt a,\sqrt{aq};q)\\ &\qquad +\frac{(1-\sqrt a)(aq,b/a,f,bq/f,wc/a,wd/a,we/a,abq/wc,abq/wd,abq/we;q)_{\infty}}{(1-b/\sqrt a)(b^2q/w,w/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,bc/a,bd/a,be/a,bf/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\qquad\cdot\,W(b^2/w;b,bc/a,bd/a,be/a,bf/w,b\sqrt a/w,b\sqrt{aq}/w;q) \end{align}

Baileyのnearly-poised変換公式

$w=a^2q/bcd$とするとき,
\begin{align} &\Q76{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,q^{-N}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,a^2q^{2-N}/w^2}{q}\\ &=\frac{(w/aq,w^2/aq;q)_N}{(wq,w^2/a^2q;q)_N}\frac{1-w^2q^{2N-1}/a}{1-w^2/aq}\Q{12}{11}{w,\sqrt wq,-\sqrt wq,wb/a,wc/a,wd/a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq},\sqrt aq,-\sqrt aq,w^2q^{N-1}/a,q^{-N}}{\sqrt w,-\sqrt w,aq/b,aq/c,aq/d,w\sqrt{q/a},-w\sqrt{q/a},w/\sqrt a,-w/\sqrt a,aq^{2-N}/w,wq^{N+1}}q \end{align}

${}_5\phi_7$

Watsonの変換公式 の系

\begin{align} \Q57{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,d,e}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/d,aq/e,0,0,0}{\frac{a^2q^2}{de}}&=\frac{(aq,aq/de;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e;q)_{\infty}}\Q21{d,e}{0}{\frac{aq}{de}}\\ \Q57{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,c,d}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/c,aq/d,0,0,0}{\frac{a^2q^2}{cd}}&=\frac{(aq;q)_{\infty}}{(aq/d;q)_{\infty}}\Q11{d}{aq/c}{\frac{aq}{d}} \end{align}

${}_6\phi_7$

Watsonの変換公式 の系

\begin{align} \Q67{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,c,d,e}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/c,aq/d,aq/e,0,0}{\frac{a^2q^2}{cde}}&=\frac{(aq,aq/de;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e;q)_{\infty}}\Q21{d,e}{aq/c}{\frac{aq}{de}}\\ \Q67{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,0,0}{\frac{a^2q^2}{bcd}}&=\frac{(aq;q)_{\infty}}{(aq/d;q)_{\infty}}\Q22{aq/bc,d}{aq/b,aq/c}{\frac{aq}{d}} \end{align}

Verma-Jainの変換公式 の系

\begin{align} &\Q67{xy,\sqrt{xy}q^2,-\sqrt{xy}q^2,b,x,y}{\sqrt{xy},-\sqrt{xy},xyq^2/b,xq^2,yq^2,0,0}{q^2;\frac{xyq^{4}}{b}}\\ &=\frac{(q,xyq;q)_{\infty}}{(xq,yq;q)_{\infty}}\Q43{x,y,\sqrt{xyq/b},-\sqrt{xyq/b}}{xyq/b,\sqrt{xyq},-\sqrt{xyq}}{q} \end{align}

${}_7\phi_7$

Watsonの変換公式 の系

\begin{align} \Q77{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,0}{\frac{a^2q^2}{bcde}}&=\frac{(aq,aq/de;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e;q)_{\infty}}\Q32{aq/bc,d,e}{aq/b,aq/c}{\frac{aq}{de}} \end{align}

${}_8\phi_7$

Watsonの変換公式 ($q$-Whippleの変換公式)

\begin{align} &\Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,q^{-N}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq^{N+1}}{\frac{a^2q^{N+2}}{bcde}}\\ &=\frac{(aq,aq/de;q)_N}{(aq/d,aq/e;q)_N}\Q43{aq/bc,d,e,q^{-N}}{aq/b,aq/c,deq^{-N}/a}{q} \end{align}

BaileyによるNon-terminating Watsonの変換公式

\begin{align} &\Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f}{\frac{a^2q^2}{bcdef}}\\ &=\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def;q)_{\infty}}\Q43{aq/bc,d,e,f}{aq/b,aq/c,def/a}{q}\\ &\qquad+\frac{(aq,aq/bc,d,e,f,a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,a^2q^2/bcdef,def/aq;q)_{\infty}}\Q43{aq/de,aq/df,aq/ef,a^2q^2/bcdef}{a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef,aq^2/def}{q} \end{align}

Baileyの変換公式 の系

$w=a^2q/bcd$とするとき,
\begin{align} &\Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f}{\frac{a^2q^2}{bcdef}}\\ &=\frac{(aq,aq/ef,wq/e,wq/f;q)_{\infty}}{(aq/e,aq/f,wq,wq/ef;q)_{\infty}}\Q87{w,\sqrt wq,-\sqrt wq,wb/a,wc/a,wd/a,e,f}{\sqrt w,-\sqrt w,aq/b,aq/c,aq/d,wq/e,wq/f}{\frac{aq}{ef}} \end{align}
$v=a^3q^2/b^2cdef$とするとき,
\begin{align} &\Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f}{\frac{a^2q^2}{bcdef}}\\ &=\frac{(b,aq,a^2q^2/bdef,a^2q^2/bcef,a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcde;q)_{\infty}}{(aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,vq,a^2q^2/bcdef;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q{8}7{v,\sqrt vq,-\sqrt vq,vb/a,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/bf}{\sqrt v,-\sqrt v,aq/b,a^2q^2/bdef,a^2q^2/bcef,a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcde}{b}\\ \end{align}

Baileyの三項変換公式

\begin{align} &W\left(a;b,c,d,e,f;\frac{a^2q^2}{bcdef}\right)\\ &=\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef,eq/c,fq/c,b/a,bef/a;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def,q/c,efq/c,be/a,bf/a;q)_{\infty}}W\left(ef/c;aq/bc,aq/cd,ef/a,e,f;\frac{bd}a\right)\\ &\qquad +\frac{(aq,bq/a,bq/c,bq/d,bq/e,bq/f,d,e,f,aq/bc,bdef/a^2q,a^2q^2/bdef;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,bd/a,be/a,bf/a,def/aq,aq^2/def,q/c,b^2q/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\qquad\cdot\,W\left(b^2/a;b,bc/a,bd/a,be/a,bf/a;\frac{a^2q^2}{bcdef}\right) \end{align}

二次変換公式( Verma-Jainの変換公式 の系)

\begin{align} &W\left(a;b,x,xq,y,yq;q^2;\frac{a^2q^2}{bx^2y^2}\right)\\ &=\frac{(aq,aq/xy,aq/\sqrt bx,aq/\sqrt by,;q)_{\infty}}{(aq/x,aq/y,aq/\sqrt b,aq/\sqrt bxy;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q87{a/\sqrt b,q\sqrt{a/\sqrt b},-q\sqrt{a/\sqrt b},x,y,\sqrt{aq/b},-\sqrt{aq/b},\sqrt b}{\sqrt{a/\sqrt b},-\sqrt{a/\sqrt b},aq/\sqrt bx,aq/\sqrt by,\sqrt {aq},-\sqrt {aq},aq/b}{\frac{\sqrt{aq}}{xy}} \end{align}

${}_8\phi_9$

Verma-Jainの変換公式 の系

\begin{align} &\Q89{a,\sqrt aq^2,-\sqrt aq^2,b,x,xq,y,yq}{\sqrt a,-\sqrt a,aq^2/b,aq^2/x,aq/x,aq^2/y,aq/y,0,0}{q^2;\frac{a^3q^{4}}{bx^2y^2}}\\ &=\frac{(aq,aq/xy;q)_{\infty}}{(aq/x,aq/y;q)_{\infty}}\Q43{x,y,\sqrt{aq/b},-\sqrt{aq/b}}{aq/b,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}}{\frac{aq}{xy}} \end{align}
が成り立つ.

${}_{10}\phi_9$

Baileyの変換公式

$w=a^2q/bcd, a^3q^{N+2}=bcdefg$とするとき,
\begin{align} &\Q{10}9{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f,g,q^{-N}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq^{N+1}}{q}\\ &=\frac{(aq,aq/ef,wq/e,wq/f;q)_N}{(aq/e,aq/f,wq,wq/ef;q)_N}\Q{10}9{w,\sqrt w q,-\sqrt wq,wb/a,wc/a,wd/a,e,f,g,q^{-N}}{\sqrt w,-\sqrt w,aq/b,aq/c,aq/d,wq/e,wq/f,wq/g,wq^{N+1}}{q} \end{align}
$v=gq^{-N}/b, a^3q^{N+2}=bcdefg$とするとき,
\begin{align} &\Q{10}9{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f,g,q^{-N}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq^{N+1}}{q}\\ &=\frac{(b,aq,a^2q^2/bdef,a^2q^2/bcef,a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcde;q)_N}{(aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,vq,a^2q^2/bcdef;q)_N}\\ &\qquad\cdot\Q{10}9{v,\sqrt vq,-\sqrt vq,vb/a,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/bf,g,q^{-N}}{\sqrt v,-\sqrt v,aq/b,a^2q^2/bdef,a^2q^2/bcef,a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcde,vq/g,vq^{N+1}}{q}\\ \end{align}

Baileyの四項変換公式

$w=a^2q/cde, a^3q^2=bcdefgh$のとき,
\begin{align} &W(a;b,c,d,e,f,g,h;q)\\ &\quad+\frac{(aq,b/a,c,d,e,f,g,h,bq/c,bq/d,bq/e,bq/f,bq/g,bq/h;q)_{\infty}}{(b^2q/a,a/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq/h,bc/a,bd/a,be/a,bf/a,bg/a,bh/a;q)_{\infty}}\\ &\quad\qquad\cdot\, W(b^2/a;b,bc/a,bd/a,be/a,bf/a,bg/a,bh/a;q)\\ &=\frac{(aq,b/a,wq/f,wq/g,w q/h,bf/w,bg/w,bh/w;q)_{\infty}}{(wq,b/w,aq/f,aq/g,aq/h,bf/a,bg/a,bh/a;q)_{\infty}}W(w;b,wc/a,wd/a,we/a,f,g,h;q)\\ &\qquad +\frac{(aq,b/a,f,g,h,bq/f,bq/g,bq/h,wc/a,wd/a,we/a,abq/wc,abq/wd,abq/we;q)_{\infty}}{(b^2q/w,w/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq/h,bc/a,bd/a,be/a,bf/a,bg/a,bh/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\qquad\cdot\,W(b^2/w;b,bc/a,bd/a,be/a,bf/w,bg/w,bh/w;q) \end{align}

Verma-Jainの変換公式

\begin{align} &W\left(a;b,x,-x,y,-y,z,-z;-\frac{a^3q^3}{bx^2y^2z^2}\right)\\ &=\frac{(a^2q^2,a^2q^2/x^2y^2,a^2q^2/x^2z^2,a^2q^2/y^2z^2;q^2)_{\infty}}{(a^2q^2/x^2,a^2q^2/y^2,a^2q^2/z^2,a^2q^2/x^2y^2z^2;q^2)_{\infty}}\Q54{x^2,y^2,z^2,-aq/b,-aq^2/b}{x^2y^2z^2/a^2,a^2q^2/b^2,-aq,-aq^2}{q^2;q^2}\\ &\qquad+\frac{(x^2,y^2,z^2,a^4q^4/b^2x^2y^2z^2;q^2)_{\infty}}{(a^2q^2/x^2,a^2q^2/y^2,a^2q^2/z^2,x^2y^2z^2/a^2q^2;q^2)_{\infty}}\frac{(aq,-a^3q^{3}/x^2y^2z^2;q)_{\infty}}{(aq/b,-a^3q^{3}/bx^2y^2z^2;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q54{a^2q^2/x^2y^2,a^2q^2/x^2z^2,a^2q^2/y^2z^2,-a^3q^3/bx^2y^2z^2,-a^3q^4/bx^2y^2z^2}{a^2q^4/x^2y^2z^2,a^4q^4/b^2x^2y^2z^2,-a^3q^3/x^2y^2z^2,-a^3q^4/x^2y^2z^2}{q^2;q^2} \end{align}
特に
\begin{align} &W\left(a;b,x,-x,y,-y,q^{-N},-q^{-N};-\frac{a^3q^{2N+3}}{bx^2y^2}\right)\\ &=\frac{(a^2q^2,a^2q^2/x^2y^2;q^2)_N}{(a^2q^2/x^2,a^2q^2/y^2;q^2)_N}\Q54{x^2,y^2,q^{-2N},-aq/b,-aq^2/b}{x^2y^2q^{-2N}/a^2,a^2q^2/b^2,-aq,-aq^2}{q^2;q^2} \end{align}

Verma-Jainの変換公式

\begin{align} &W\left(a;b,x,xq,y,yq,z,zq;q^2;\frac{a^3q^3}{bx^2y^2z^2}\right)\\ &=\frac{(aq,aq/xy,aq/xz,aq/yz;q)_{\infty}}{(aq/x,aq/y,aq/z,aq/xyz;q)_{\infty}}\Q54{x,y,z,\sqrt{aq/b},-\sqrt{aq/b}}{xyz/a,aq/b,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}}{q}\\ &\qquad+\frac{(a^3q^3/x^2y^2z^2,aq^2;q^2)_{\infty}}{(aq^2/b,a^3q^3/bx^2y^2z^2;q^2)_{\infty}}\frac{(x,y,z,a^2q^2/bxyz;q)_{\infty}}{(aq/x,aq/y,aq/z,xyz/aq;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q54{aq/xy,aq/yz,aq/xz,\sqrt{a^3q^3/bx^2y^2z^2},-\sqrt{a^3q^3/bx^2y^2z^2}}{aq^2/xyz,a^2q^2/bxyz,\sqrt{a^3q^3/x^2y^2z^2},-\sqrt{a^3q^3/x^2y^2z^2}}{q} \end{align}
特に
\begin{align} &W\left(a;b,x,xq,y,yq,q^{-N},q^{1-N};q^2;\frac{a^3q^{2N+3}}{bx^2y^2}\right)\\ &=\frac{(aq,aq/xy;q)_N}{(aq/x,aq/y;q)_N}\Q54{x,y,q^{-N},\sqrt{aq/b},-\sqrt{aq/b}}{xyq^{-N}/a,aq/b,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}}{q} \end{align}

${}_{12}\phi_{11}$

Rahman-Vermaの二次変換公式

\begin{align} &W\left(a^2;q^{-2N},c,cq,d,dq,e,eq,\frac{a^4q^{N+1}}{cde},\frac{a^4q^{N+2}}{cde};q^2;q^2\right)\\ &=\frac{(a^2q,a^2q/cd,a^2q/ce,a^2q/de;q)_N}{(a^2q/c,a^2q/d,a^2q/e,a^2q/cde;q)_N}\\ &\qquad\cdot W(a^2q^n;c,d,e,aq^{N+\frac 12},-aq^{N+\frac 12},a^4q^{N+1}/cde,q^{-N};q;-q^{N+1})\\ &W\left(a^2;e^2,c,cq,d,dq,\frac{a^4q^{N+1}}{cde},\frac{a^4q^{N+2}}{cde},q^{1-N},q^{-N};q^2;q^2\right)\\ &=\frac{(a^2q,a^2q/cd,a^2q/ce,a^2q/de;q)_N}{(a^2q/c,a^2q/d,a^2q/e,a^2q/cde;q)_N}\\ &\qquad\cdot W(a^2/e;a\sqrt q/e,-a\sqrt q/e,c,d,e,a^4q^{N+1}/cde,q^{-N};q;-q/e) \end{align}

Verma-Jainの三次変換公式

$\omega:=e^{\frac{2\pi i}3}$とするとき,
\begin{align} &W\left(a;d^{\frac 13},\omega d^{\frac 13},\omega^2d^{\frac 13},e^{\frac 13},\omega e^{\frac 13},\omega^2 e^{\frac 13},f^{\frac 13},\omega f^{\frac 13},\omega^2 f^{\frac 13};q;\frac{a^4q^4}{def}\right)\\ &=\frac{(a^3q^3,a^3q^3/de,a^3q^3/df,a^3q^3/ef;q^3)_{\infty}}{(a^3q^3/d,a^3q^3/e,a^3q^3/f,a^3q^3/def;q^3)_{\infty}}\\ &\qquad\Q65{d,e,f,aq,aq^2,aq^3}{def/a^3,(aq)^{\frac 32},-(aq)^{\frac 32},a^{\frac 32}q^3,-a^{\frac 32}q^3}{q^3;q^3}\\ &\qquad+\frac{(d,e,f,a^9q^9/d^2e^2f^2;q^3)_{\infty}(aq;q)_{\infty}}{(a^3q^3/d,a^3q^3/e,a^3q^3/f,def/a^3q^3;q^3)_{\infty}(a^4q^4/def;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q65{a^3q^3/de,a^3q^3/df,a^3q^3/ef,a^4q^4/def,a^4q^5/def,a^4q^6/def}{a^3q^6/def,(aq)^{\frac 92}/def,-(aq)^{\frac 92}/def,a^{\frac 92}q^6/def,-a^{\frac 92}q^6/def}{q^3;q^3}\\ &W\left(a;d,dq,dq^2,e,eq,eq^2,f,fq,fq^2;q^3;\frac{a^4q^3}{d^3e^3f^3}\right)\\ &=\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot \Q65{d,e,f,a^{\frac 13},\omega a^{\frac 13},\omega^2 a^{\frac 13}}{def/a,\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}}{q}\\ &\qquad+\frac{(d,e,f,a^3q^2/d^2e^2f^2;q)_{\infty}(aq^3;q^3)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,def/aq;q)_{\infty}(a^4q^3/d^3e^3f^3;q^3)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q65{aq/de,aq/df,aq/ef,a^{\frac 43}q/def,a^{\frac 43}\omega q/def,a^{\frac 43}\omega^2q/def}{aq^2/def,a^{\frac 32}q/def,-a^{\frac 32}q/def,(aq)^{\frac 32}/def,-(aq)^{\frac 32}/def}{q} \end{align}

その他

Rogers-Fineの恒等式

\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}x^n&=\sum_{0\leq n}\frac{1-axq^{2n}}{1-x}\frac{(a,axq/b;q)_n}{(b,xq;q)_n}(bx)^nq^{n^2-n} \end{align}

Chu-Zhangの相互関係式

\begin{align} &y\sum_{0\leq n}(1-yq^{2n+1}/x)\frac{(q/ax,q/bx,q/cx,q/dx;q)_n}{(ay,by,cy,dy;q)_{n+1}}(abcdx^2y^2/q)^n\\ &-x\sum_{0\leq n}(1-xq^{2n+1}/y)\frac{(q/ay,q/by,q/cy,q/dy;q)_n}{(ax,bx,cx,dx;q)_{n+1}}(abcdx^2y^2/q)^n\\ &=(y-x)\frac{(q,yq/x,xq/y,abxy,acxy,adxy,bcxy,bdxy,cdxy;q)_{\infty}}{(ax,ay,bx,by,cx,cy,dx,dy,abcdx^2y^2/q;)_{\infty}}\\ &y\sum_{0\leq n}\frac{(q/ax,q/cx,bdxy;q)_n}{(q^2/acxy;q)_n(by,dy;q)_{n+1}}q^n-x\sum_{0\leq n}\frac{(q/ay,q/cy,bdxy;q)_n}{(q^2/acxy;q)_n(bx,dx;q)_{n+1}}q^n\\ &=(y-x)\frac{(q,yq/x,xq/y,abxy,adxy,bcxy,bdxy,cdxy,acxy/q;q)_{\infty}}{(ax,ay,bx,by,cx,cy,dx,dy,abcdx^2y^2/q;q)_{\infty}}\\ &\qquad+\frac{acxy}{q}\frac{(q,q/ax,q/ay,q/cx,q/cy,bdxy;q)_{\infty}}{(bx,by,dx,dy,q^2/acxy,abcdx^2y^2/q;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Bigg(y\frac{(bx,dx,abcxy^2,acdxy^2;q)_{\infty}}{(ay,cy,q/ay,q/cy;q)_{\infty}}\Q32{ay,cy,abcdx^2y^2/q}{abcxy^2,acdxy^2}{q}\\ &\qquad\qquad-x\frac{(by,dy,abcx^2y,acdx^2y;q)_{\infty}}{(ax,cx,q/ax,q/cx;q)_{\infty}}\Q32{ax,cx,abcdx^2y^2/q}{abcx^2y,acdx^2y}{q}\Bigg) \end{align}

Rahmanの二次変換公式

\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{1-aq^{3k}}{1-a}\frac{(b,c,aq/bc;q)_k(a,d,aq/d;q^2)_k}{(aq^2/b,aq^2/c,bcq;q^2)_k(q,aq/d,d;q)_k}q^k\\ &=\frac{(aq^2,bq,cq,aq^2/bc;q^2)_{\infty}}{(q,aq^2/b,aq^2/c,bcq;q^2)_{\infty}}\Q32{b,c,aq/bc}{dq,aq^2/d}{q^2;q^2} \end{align}

Gasper-Rahmanの二次変換公式

\begin{align} &W(ac^2/b;c,ac/b,d,a^2c^2q/df,f,cq/b,cq^2/b;q^2;q^2)\\ &\qquad+\frac{(ac^2q^{2}/b,bf/ac^2,fq^2/d,df^2q/a^2c^2,d,a^2c^2q/df;q^2)_{\infty}(bf/c,cq/b;q)_{\infty}}{(ac^2q^{2}/bd,dfq/ab,ac^2/bf,bdf/ac^2,abq/d,bf^2q^2/ac^2;q^2)_{\infty}(ac,fq/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot \frac{(1-c)(1-ac/b)}{(1-f/c)(1-bf/ac)}W(bf^2/ac^2;bdf/ac^2,abq/d,f,f/c,bf/ac,fq/ac,fq^2/ac;q^2;q^2)\\ &\qquad-\frac{(ac^2q^{2}/b,bf/ac^2,fq^2/d,df^2q/a^2c^2,d,a^2c^2q/df,f,q^2;q^2)_{\infty}}{(ac^2q^{2}/bd,dfq/ab,bdf/ac^2,abq/d,cq^2,acq^2/b,f/c,bf/ac;q^2)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(a,b,cq/b;q)_{\infty}}{(ac,fq/ac,ac/f;q)_{\infty}}\Q32{fq/ab,f/c,bf/ac}{fq^2/d,df^2q/a^2c^2}{q^2;q^2}\\ &=\frac{(ac^2q^{2}/b,fq/ab,abq,bf/ac^2;q^2)_{\infty}(acq/d,df/ac;q)_{\infty}}{(ac^2q^{2}/bd,dfq/ab,bdf/ac^2,abq/d;q^2)_{\infty}(acq,f/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{3k}}{1-ac}\frac{(a,b,cq/b;q)_k(d,a^2c^2q/df,f;q^2)_k}{(cq^2,acq^2/b,abq;q^2)_k(acq/d,df/ac,acq/f;q)_k}q^{k} \end{align}

Gasper-Rahmanの三次変換公式

\begin{align} &\frac{(ac^2q^{3}/b,bd/ac^2;q^3)_{\infty}(dq/ab,ab;q)_{\infty}}{(cdq^{3}/ab^2,ab^2/c;q^3)_{\infty}(acq,d/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{4k}}{1-ac}\frac{(a,b;q)_k(cq/b;q)_{2k}(d,a^2bc/d;q^3)_k}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(ab;q)_{2k}(dq/ab,acq/d;q)_k}q^{k}\\ &=W(ac^2/b;c,d,a^2bc/d,ac/b,cq/b,cq^2/b,cq^3/b;q^3;q^3)\\ &\qquad+\frac{(ac^2q^{3}/b,bd/ac^2,d^2q^{3}/a^2bc,a^2bc/d;q^3)_{\infty}(bd/c,cq/b;q)_{\infty}}{(ac^2/bd,cdq^{3}/ab^2,ab^2/c,bd^2q^3/ac^2;q^3)_{\infty}(ac,dq/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(1-c)(1-ac/b)}{(1-d/c)(1-bd/ac)}W(bd^2/ac^2;ab^2/c,d,d/c,bd/ac,dq/ac,dq^2/ac,dq^3/ac;q^3;q^3)\\ &\qquad-\frac{(q^3,d,ac^2q^{3}/b,bd/ac^2,d^2q^{3}/a^2bc,a^2bc/d;q^3)_{\infty}(a,b,cq/b;q)_{\infty}}{(cq^3,acq^3/b,d/c,bd/ac,cdq^{3}/ab^2,ab^2/c;q^3)_{\infty}(ac,dq/ac,ac/d;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q21{d/c,bd/ac}{d^2q^3/a^2bc}{q^3;q^3}\\ &\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{4k}}{1-ac}\frac{(a,b;q)_k(cq/b;q)_{2k}(q^{-3N},a^2bcq^{3N};q^3)_k}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(ab;q)_{2k}(acq^{3N+1},q^{1-3N}/ab;q)_{k}}q^{k}\\ &=\frac{(acq;q)_{3N}(ab^2/c;q^3)_N}{(ab;q)_{3N}(ac^2q^3/b;q^3)_N}W(ac^2/b;c,q^{-3N},a^2bcq^{3N},ac/b,cq/b,cq^2/b,cq^3/b;q^3;q^3) \end{align}

Gasper-Rahmanの四次変換公式

\begin{align} &W(ac^2/b;a^2b^2/q^2,ac/b,c,cq/b,cq^2/b,cq^3/b,cq^4/b;q^4;q^4)\\ &\qquad+\frac {(1-c)(1-ac/b)(cq/b,a^2b^3/cq^2;q)_{\infty}(ac^2q^4/b,ab^3/c^2q^2;q^4)_{\infty}}{(1-a^2b^2/cq^2)(1-ab^3/cq^2)(ac,ab^2/cq;q)_{\infty}(c^2q^2/ab^3,a^3b^5/c^2;q^4)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot W(a^3b^5/c^2q^4;a^2b^2/q^2,a^2b^2/cq^2,ab^3/cq^2,ab^2/cq,ab^2/c,ab^2q/c,ab^2q^2/c;q^4;q^4)\\ &\qquad+\frac {ab^2(a,b,cq/b;q)_{\infty}(ac^2q^4/b,ab^3/c^2q^2,a^2b^2/q^2;q^4)_{\infty}}{cq^2(1-a^2b^2/cq^2)(ac,ab^2/cq^2,cq^3/ab^2;q)_{\infty}(cq^4,acq^4/b,ab^3/cq^2;q^4)_{\infty}}\\ &\qquad\qquad\cdot \Q11{a^2b^2/cq^2}{a^2b^2q^2/c}{q^4;\frac{ab^3q^2}c}\\ &=\frac{(ab;q)_{\infty}(ab/q;q^2)_{\infty}(ac^2q^4/b,ab^3/c^2q^2;q^4)_{\infty}}{(acq,ab^2/cq^2;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{5k}}{1-ac}\frac{(a,b;q)_k(a^2b^2/q^2;q^4)_k(cq/b;q)_{3k}}{(cq^3/ab^2;q)_k(ab;q)_{2k}(ab/q;q^2)_k(cq^4,acq^4/b;q^4)_k}q^k \end{align}

あとがき

他にも書いておいた方が良さそうな公式があれば追記したいと思う.