超微分の目次
はじめに
どうもAAGです. a.k.a. キャベ数です.
最近, 超微分というものが2024~2025年によく議論されているのを見かけまして興味が湧いたんですが,
流れのまとめ
はあっても用語のまとめが見当たらなかったので, 自己満的にまとめました.
是非
「超微分の記事まとめ」
と並べながらご覧ください.
名前がないところは適当に命名してます. 別の名前にしてほしい, 名前を付けないでほしいなどあればお声がけください.
検索可能性を重視したいので, 数式も基本普通に書きます.
内容の正確さを保証するものではありません.
主に代表をあつめるのが目的なので、すでに出てきた定理などは省きます. ただし, 重要な更新などがあれば改めて書きます. (主観になります)
目次
1は発想なので省略します.
2. 超微分の定理と定義
- 定義1 超微分係数
- 定義2 狭義超微分可能
- 定義3 超導関数
- 定理1 (hxをx+Δxに変える)
- 定理2 超導関数の変換公式
- 定理3 x^n,e^{f(x)}の超導関数
- 定理4 積、冪に関する公式
- 定理5 合成関数の超微分
3. 超微分の意味と考察
- 定理3 和と超導関数
- 定義1 レベル
- 定義2 レベルの比較
- 予想 レベルの比較と大小
4. 超微分で微分っぽいことをする
- 定理1 超微分可能性
- コラム 零元の特異性
- 超微分可能性 系
- 定理2 超・Lagrangeの平均値の定理
- 定理3 超・Cauchyの平均値の定理
- 定理4 超・L'Hopitalの定理
- 定義1 接冪
5. 「超微分可能なら連続」と超微分における接線の考察
- 定理1 (超微分可能なら連続)
- 定理2 (グラフと引き戻し)
6. 超積分の簡単な定義・レベルとオーダーの関係
- 公理 超微分超積分の基本公理
- 定理3 超積分の変換公式
- 定義1 オーダー
- 定義3 オーダーの大小
- 定理4 レベルの比較とオーダーの大小の関係
7. (モニックな、実係数)n次関数の超微分と解のm乗和
超微分の小ネタ、(モニックな、実係数)n次関数の超微分と解のm乗和
8. 超微分に関する先行研究
- (両対数グラフの傾き)
9. 超微分における指数関数、双曲線関数
- 定義1 超指数関数
- 定理3 超指数関数
- 定義2 sxp(x)
- 定義3 超双曲線関数
- 定理4 超双曲線関数
- 定義4 ssinh(x), scosh(x)
- 定義5 超三色関数
- 定理5 超三色関数
10. 超微分のx→0での値の意味
- 定理2 (多項式関数に対するx→0での意味)
- 予想 (最低次数と最高次数)
11. 接冪について
- 定義2 指数的対数冪(Ex-Log)展開
- 公式1 e^xと超微分
- 予想 超Taylorの定理
- 独り言
12. 超微分における接線，高次導関数
- 定理1 (F'(log(a))とF`(a))
- 定理2 (引き戻した接線)
- 定義2 (n次超導関数, \mathscr{P}^n級)
- 公式1 (商の超導関数, 2回超微分の変換)
13. n階超微分の表示ができない
- 定義1 (第n次超導関数の記法)
- (3次までの計算)
14. 超Taylor展開の形を何となく推察しようとしてほぼ失敗している事例
超Taylor展開の形を何となく推察しようとしてほぼ失敗している事例
15. 超微分係数の一致と微分係数の一致
- 仮定 (f,g>0, 超微分可能)
- 定理3 (関数と超微分係数の一致から微分係数の一致)
- 定理4 (仮定を含めたまとめ)
16. 超Taylor展開について考えた結果
- (美しい演算∧)
- (Ex-Logと同じ)
17. 超Taylor展開を導出する(3次までできた)
- (超積分の記号)
- 定義1 超定積分
18. 超微分は二つある(本当はないはず)
19. 超積分の定義と基本的な定理
- 定義1 分割
- 定義2 超Riemann積
- 定義3 超Riemann積分
- 定理1 (超積分可能の必要十分条件)
- 定理2 (超積分の基本性質) ※
- 定理3 (連続性と超可積分)
- 定理4 超積分の平均値の定理
- 定理5 超微分積分学の基本公式
20. 超積分と積分の関係と超原始関数の定義
- 定理2 超定積分の変換公式
- 定理3 (可積分ならば超積分)
- 定義1 超原始関数
- 定理4 (超可積分と和)
21. 広義超積分の定義と収束条件
- 定義1 広義超積分
- 定理1 (離散極限, 挟み撃ち)
- 定理2 (x→0と広義超積分)
- 定理3 (零点と広義超積分)
22. 超微分とテトレーションの関係性
- 定理1 テトレーションの微分
- 定理3 テトレーションの超微分
- (超微分に良いふるまいを与えそうな関数の考察)
23. π^π^π^πは整数か？(2次までの超Taylor編)
24. 7777777さんの「超微分とテトレーションの関係性」から無限テトレーションの超微分を考える
7777777さんの「超微分とテトレーションの関係性」から無限テトレーションの超微分を考える
- 定理4 テトレーションの超微分
- 定理5 無限テトレーションの超微分
- 定義2 ランベルトのW関数
25. 超・McLaughlin展開を構成的に導出してみる
- 定義1 E関数
- 定義2 ダイヤモンド演算子
- 定義3 超・McLaughlin Diamond (SMD)
- 補題1 (n次超微分係数の一致)
- 補題2 超微分の表現性補題
- 定理3 超・McLaughlin展開
- 定義4 極限ダイヤモンド演算子
- 定理4 (超微分と極限ダイヤモンド演算子の交換)
26. π^π^π^πは整数か？(3次の超Taylor編)
27. 超微分の図形的意味から平面上の「再スケール」を定義を考える
- (Rsc)
- 定義1 再スケール
- 定義2 ℝ上の陽関数の再スケール
- 定義3 陽関数の再スケール微分
28. xy平面上の関数をX(x)Y(y)平面に写す操作である再スケールの定義とX(x)Y(y)平面上の微積分の定義
xy平面上の関数をX(x)Y(y)平面に写す操作である再スケールの定義とX(x)Y(y)平面上の微積分の定義
- 定理1 逆スケール
- 定理2 X軸, Y軸, 原点(X(0),Y(0))対称
- 定義3 再スケール微分係数
- 定義4 再スケール導関数
- 定理3 再スケール微分可能性
- 定理4 再スケール微分の変換公式
- 定義5 再スケールRiemann和
- 定義6 上再スケール積分, 下再スケール積分
- 定義7 再スケール積分
- 定理5 再スケール積分可能性
- 定理6 再スケール積分の変換公式
- 定理7 再スケール微積分の基本定理
29. 超Lebesgue積分の定義と基本的な定理
- 定義1 開区間の比
- 定義2 比率外測度(Outer ratio measure)
- 定理1 (可算集合の比率外測度)
- 定理2 (比率外測度の劣乗法性)
- 定理3 (比率外測度の単調性)
- 定義3 Scaling
- 定理4 (比率外測度のScaling不変性)
- 定理5 (区間の比率外測度)
- 定理6 (比率非可測な集合の存在)
- 補題7 (開集合と乗法性)
- 補題8 (閉集合の乗法性)
- 補題9 (比率可測集合はσ加法族)
- 補題9 系1 (Borel集合と\mathcal{R})
- 補題9 系2 (Borel集合の乗法性)
- 定義4 Lebesgue ratio measurable set
- 補題10 (超可測と\mathcal{R})
- 定理11 (超測度の可算乗法性)
- 定義5 Lebesgue ratio measurable space
- 定義6 Ratio space
- 定理12 (拡大列の超測度)
- 定理13 (縮小列の超測度)
- 定理14 (単関数と超測度)
- 定義7 Almost Every
- 定理15 (超・Egorov's Theorem)
- 定義8 Partition
- 定義9 Lower Lebesgue Product
- 定義10 Ratio Integral of a Function
- 定理16 (定義関数の超積分)
- 定理17 (単関数の超積分)
- 定理17 系3 (単関数の超積分)
- 定理18 (単関数による超積分)
- 定理19 (超積分の基本性質)
- 定理20 (超積分の単調収束定理)
- 定義11 Ratio Integral on a Subset
- 補題21 超積分の性質
- 補題22 (超可積分関数とε-δ)
- 補題23 (超可積分関数と有限近似)
- 定理24 Dominated Convergence Theorem of Ratio Integral
- 定理25 (超・Lebesgueの定理)
30. 再スケール微積分の公式をいくつか作る
- 定理2 和の再スケール微分法則
- 定理3 定数倍の再スケール微分法則
- 定理4 積の再スケール微分法則(再スケールLeibnizの法則)
- 定理5 商の再スケール微分法則
- 定理6 再スケール積分の変換公式
- 定理7 再スケール積分法則
- 定理8 多項式の再スケール積分
31. 超積分の公式集
32. ダイヤモンド演算子で遊ぶ
- 定理1 交換法則
- 定理2 結合法則
- 定理3 分配法則
- 定理4 交換法則
- 定理5 結合法則
- 定理6 分配法則
- 公式4 系
33. 超微分 アイデア(没)
- (バーゼル問題)
34. 整関数と超微分
- (解のn乗和)
- (正弦関数とガンマ関数の超微分)
35. 有理型関数と超微分
36. 超微分, 超積分の記号の提案／二変数関数と超微分
- (rx)
- (\log_{rx} r)
- 定理1 超・連鎖律
- 超連鎖律 系
- 和の超微分
おまけ(次回予告)
この分野に興味がでたので, 自分なりに考えた内容を書こうと思います.
当時はそれほどAI(特にChatGPT)が発達していなかったと思うのでずるいかもしれませんがフル活用していきます.
予定としては
- 超微分, 超積分の記号の提案と
超微分形式
済 - sxpのSM展開の収束
- 極限ダイヤモンドの拡張の難しさ
があります. 下に行くほど作られる確率が減ります. 合併・訂正等の可能性もあります.
おわりに
ここまで読んでいただきありがとうございました.
この記事・この命題・この項目を載せてほしい, 記事に更新があった, その他意見などは
@tanzakucabbege
にお願いします.(Mathlogの通知はあまり見ないので…)
DMでも固定や最新のものにリプをするなどでも構いません.
すぐに見る必要がない・数学的な内容はMathlogのコメントでもokです.
