今まで書いてきた記事まとめ

　特筆すべきことは特にありません。

　合同方程式$x^{p^{e'}}\equiv1\pmod{p^e}$の解は
$$x\equiv1+p^{e-e'}j\pmod{p^e}\quad(0\leq j< p^{e'})$$
によって尽くされます。

　分数関数$\dis h(x)=f(x)/g(x)$の最大値や最小値を$M,m$とおき、$f(x)-Mg(x),f(x)-mg(x)$の最大値や最小値を考えることで$M,m$を特定する手法を考案してみました。

　三角形の三辺の長さから面積を求める公式、ヘロンの公式は$n$次元図形へ一般化することができます。

　スターリングの公式は一本の等式
$$\sqrt{t}\l(\frac{e}{t}\r)^t\G(t)=\int^\infty_{-\infty}\exp\l(t(1+\frac{x}{\sqrt{t}}-e^{\frac{x}{\sqrt{t}}})\r)dx$$
だけで説明できます。

　一般化Lucasの定理
$$\frac{{}_nC_m}{p^{k_0}}\equiv\d_{p^e}^{k_{e-1}} \l(\farc{(N_d)!_p}{(M_d)!_p(L_d)!_p}\r) \cdots \l(\farc{(N_1)!_p}{(M_1)!_p(L_1)!_p}\r) \l(\farc{(N_0)!_p}{(M_0)!_p(L_0)!_p}\r)\pmod{p^e}$$
を用いて東大数学2021を解いてみました。

　下降冪$(x)_n$に対しても二項定理
$$(x+y)_n=\sum^n_{k=0}\binom nk(x)_k(y)_{n-k}$$
が成り立つようです。

　以下の補題は超越数論でしばしば使われるらしいです。

　スターリング数の相互関係
\begin{align} \S n{n-k}&=\sum^k_{m=0}\binom{k-n}{k+m}\binom{n+k}{n+m}\st{m+k}m\\ \st n{n-k}&=\sum^k_{m=0}\binom{k-n}{k+m}\binom{n+k}{n+m}\S{m+k}m \end{align}
や一般項
\begin{align} \st nk&=\sum^k_{j=0}(-1)^{k-j}\frac{j^n}{j!(k-j)!}\\ \S nk &=\sum^{2n-k}_{m=n}\binom{m-1}{k-1}\binom{2n-k}m\sum^{m-n}_{j=0}(-1)^{n-k+j}\frac{j^{m-k}}{j!(m-n-j)!} \end{align}
についてまとめました。

　周期関数の広義積分に関する公式
$$\int^\infty_0\frac{\sin^2 x}{x^2}f(x)dx =\int^\infty_0\frac{\sin x}xf(x)dx =\int^{\frac\pi2}_0f(x)dx$$
について簡単な考察をしました。

　数列のルジャンドル変換
\begin{align} a_n&=\sum^n_{k=0}\binom nk\binom{n+k}kb_k\\\iff \binom{2n}nb_n&=\sum^n_{k=0}(-1)^{n-k}(\binom{2n}{n+k}-\binom{2n}{n+k+1})a_k \end{align}
に関する話題について簡単にまとめました。

　一般線形群$GL_n(K)$からアーベル群$A$への任意の準同型は、ある準同型$f:K^\times\to A$と$\det:GL_n(K)\to K^\times$の合成として表せるのだとか。

　ある種の対称性を持つ行列式の因数分解公式
$$\det(f(x_i^{-1}x_j))=\prod_{\chi\in\G}\l(\sum_{x\in G}f(x)\chi(x)\r)$$
について簡単にまとめました。

　二次ガウス和の相互法則
$$\sum^{b-1}_{n=0}\exp\l(\pi in^2\frac ab\r) =\sqrt{\frac{ib}a}\sum^{a-1}_{n=0}\exp\l(-\pi in^2\frac ba\r)$$
について簡単にまとめました。

　オイラー・マクローリンの和公式
$$\sum^{b-1}_{n=a}f(n+h) =\int^b_af(x)dx +\sum^m_{k=0}\frac{B_k(h)}{k!}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a)) -\int^b_a\frac{\widetilde B_m(h-x)}{m!}f^{(m)}(x)dx$$
とオイラー・ブールの和公式
$$\sum^{b-1}_{n=a}(-1)^nf(n+h) =\frac12\sum^m_{k=0}\frac{E_k(h)}{k!}((-1)^{n-1}f^{(k)}(b)+(-1)^af^{(k)}(a)) +\frac12\int^b_a\frac{\widetilde E_m(h-x)}{m!}f^{(m+1)}(x)dx$$
について簡単にまとめました。
　またそれに付随してベルヌーイ多項式・オイラー多項式の基本性質についても簡単にまとめてあります。

　Vandermonde行列式の一般化
$$\det V\begin{bmatrix} x_1&x_2&\cdots&x_m\\ l_1&l_2&\cdots&l_m \end{bmatrix} =\prod_{1\leq i< j\leq m}(x_j-x_i)^{l_il_j}$$
やその応用について簡単にまとめました。

$$2\cos\frac{2\pi}9=\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt3i}2}+\sqrt[3]{\frac{-1-\sqrt3i}2}$$
のように実数なのに虚数を用いないと表すことができない現象(casus irreducibilis)についてまとめました。

　知っていましたか？任意の整数は素数なんですよ。もちろん、冗談ですが。

　$\coth x$の部分分数展開
$$\coth x=\frac1x+\sum^\infty_{k=1}\frac{2x}{x^2+\pi^2k^2}$$
を高校数学の範囲で証明できないか奮闘した記録となります。

　当時少し話題になっていた「正$3k+1$角形を円と$k$個の放物線の交点で表現する」という話題について考察してみました。

　$55^{90}$と$99!$の大きさを現実的な計算量で比較します。

　べき級数によって三角関数を定義したとき、そこから三角関数の幾何学的性質が正常に導かれるのか、ということについて考察してみました。

　我々は普段$10$進位取り記数法を用いており、他に使ったとしても$2$進法や$16$進法など$N$進法止まりである。しかしより一般的な記数法を考えたとき、より豊かな性質を持った記数法が現れたりしないだろうか。

　上の記事では$N$進じゃない記数法について考察したが、では$N$進法の中で一番優れた$N$の取り方はどれだろうか。と考えたとき$N=36$という値が浮かび上がってきたのであった...。

　函数解析の勉強をしていたとき、ふと行列のノルムはどのように求まるのか気になって色々調べてみました。

　一般に五次以上の方程式は(代数的に)解けないことが知られていますが、四次・三次の方程式についてはその構造を明らかにすることができます。

　五次方程式が解けないことの副産物として1の冪根は代数的に求められることが知られています。

　りぼーすさんの(初等的な手法による)フィボナッチ数についての研究に対して代数的整数論によるアプローチを考えてみました。

　演算子をコネコネしています。が、多分もっとよくまとまった記事がどこかにあると思います。

　知り合いに勧められて3次元アステロイド$x^\frac23+y^\frac23+z^\frac23=a^\frac23$の表面積を計算してみました。

　代数的数全体のなす集合$\ol{\Q}$が和や積について閉じていることは有名ですが、同様にして線形漸化式を満たす数列や線形微分方程式を満たす関数全体も和や積について閉じていることを示すことができます。

　たとえ何回負けようと一回でも勝てば儲けが出る。そんなギャンブルの必勝法について数学的に考察してみました。

　数式をアレコレいじっていたら
$$\frac{\cos(2n+1)\t}{\cos\t}=\sum^n_{k=0}(-1)^k\binom{n+k}{2k}(2\sin\t)^{2k}$$
のような興味深い関係式が色々出てきました。

　Sunpillarさんの提起した円に接しまくる$n$次関数の問題に対して明示的な公式を発見しました。

　スターリング数と微分演算子の関係
$$\l(x\frac d{dx}\r)^n=\sum^n_{k=0}\l\{n\atop k\r\}x^k\frac{d^k}{dx^k}$$
を想起させるような議論を見かけたので考察してみました。

　NKSさんが予想した等式
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{\binom{2n}n^2}{2^{4n}}e^{\frac{\pi in}3} =e^{\frac{\pi i}{12}}\l(\frac{16}{27}\r)^{\frac14}\frac{\sqrt\pi}{\G(\frac23)\G(\frac56)}$$
を証明してみました。

　aoki_taichiさんやapu_yokaiさんが提起した問題について考察してみました。

　有理数体の
$$\Q(\sqrt[n]{a_1},\sqrt[n]{a_2},\ldots,\sqrt[n]{a_k})$$
という形の拡大の振る舞いについて簡単に考察してみました。

　 ラマヌジャンのある論文 と類似した積分
$$\int^\infty_0\frac{\cos2tx}{\sinh^2\pi x}(1-e^{-\pi isx^2})dx$$
について簡単に考察してみました。

　ゆうすいさんのあるツイートから派生した問題について考察してみました。

　知り合いが提起した問題
$$\cos a\cos b=\cos c\qquad(a,b,c\in\Q\pi)$$
に対する一つの解答を与えるほか、その補題として$\cos(2\pi/n)$のノルムを求めました。

　可解な$5$次方程式の解の構造や、数値計算による厳密解の求め方に関する個人的な考察についてまとめました。

　上の記事で紹介した方法を用いて$30$個くらいの$5$次方程式の厳密解を求めました。