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今まで書いてきた記事まとめ

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{G}[0]{\Gamma} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]{\mathrm{Gal}} \newcommand{id}[0]{\mathrm{id}} \newcommand{Im}[0]{\mathrm{Im}} \newcommand{Ker}[0]{\mathrm{Ker}} \newcommand{l}[0]{\left} \newcommand{ndiv}[0]{\nmid} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{r}[0]{\right} \newcommand{Re}[0]{\mathrm{Re}} \newcommand{s}[2]{\left\{#1 \atop #2\right\}} \newcommand{S}[2]{\left[#1 \atop #2\right]} \newcommand{t}[0]{\theta} \newcommand{ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} \newcommand{ZZ}[1]{\mathbb{Z}/{#1}\mathbb{Z}} \newcommand{ZZt}[1]{(\mathbb{Z}/{#1}\mathbb{Z})^\times} $$

はじめに

 なんとなしに記事を生成し続けていたらいつの間にか50記事も書いていて、またちょくちょくシリーズものを書くことも多く、ちょっとごちゃごちゃしてきたので一旦目次としてまとめておこうと思いました。
 (追記) リンクを書き並べるだけでもかなりの記事数になってきたので少しリニューアルしました。ついでに各記事についての簡単な紹介文を追加しました。
 ここでまとめられているのは2024/04/06現在公開してある186記事と$+\,\a$くらいの内容になります。(随時更新)

記事一覧

正則素数編

フェルマーの最終定理

円分体の整数環と判別式
Henselの補題
Kummerの補題
正則素数におけるフェルマーの最終定理:ファーストケース
正則素数におけるフェルマーの最終定理:セカンドケース

クンマーの判定法

実円分体の整数環と判別式
円分体と実円分体における素数の分解
ディリクレ指標の性質
ガウス和と符号決定問題
ディリクレのL関数の特殊値と関数等式
円分体と実円分体のデデキントゼータ関数
類数公式の証明
素数pがベルヌーイ数を割り切るなら非正則素数である
素数pがベルヌーイ数を割り切らないなら正則素数である

$k$-ナッチ数編

四捨五入表示

k-ナッチ数列の四捨五入表示についての考察(ほぼ証明)
k-ナッチ数列の四捨五入表示の確率論的導出
ランダムウォーク不等式(仮)
k-リュカ数の四捨五入表示についての考察
k-リュカ数の四捨五入表示についての考察(その2)
k-リュカ数の四捨五入表示についての考察(その3)とその予想

代数的構造

ヴァンデルモンド行列の逆行列
重解のない固有方程式を持つ数列の行列表現とその成分
k-ナッチ数のk-リュカ数による表現
k-ナッチ数とペル方程式

お勉強編

複素解析

一般ディリクレ級数の収束軸と応用例
ワイエルシュトラスの因数分解定理
ポアソン・イェンゼンの公式
アダマールの因数分解定理
ミッタク=レフラーの部分分数展開定理
フーリエ級数展開からフーリエ変換まで

保型形式

保型形式の基礎のキソ:モジュラー形式とモジュラー群Γ
保型形式の基礎のキソ:アイゼンシュタイン級数とラマヌジャンのデルタ
楕円関数論の基礎のキソ
保型形式入門:Fuchs群と固定点
保型形式入門:基本領域
保型形式入門:Γ\ℍの位相
保型形式入門:Γ\ℍの複素構造
保型形式入門:コンパクトリーマン面上の関数
保型形式入門:保型形式
保型形式入門:モジュラー形式とj-不変量
保型形式入門:モジュラー群の有限生成性について

二次形式の整数論

二元二次形式の代数
二平方定理のとある一般化
・( 楕円積分の特殊値を求める(その2) )
整数が二次形式で表現できる条件と応用例
便利数についての覚え書き

$p$進整数論

p進数の一般論:完備離散付値体のお話
完備体上の有限次線形空間のノルムは全て同値である
乗法付値の同値性についての色々
因数分解型のHenselの補題
完備離散付値体の代数拡大

$p$進解析

p進数の解析学と実解析:連続関数編
p進数の解析学と実解析:微分編
p進数の解析学と実解析:積分編

雑記

雑記:部分分数分解
雑記:級数の収束
雑記:級数の収束判定法まとめ
雑記:関数項級数に関する定理まとめ
ピカール・リンデレーフの定理
雑記:線形微分方程式
雑記:ジョルダン標準形

リーマン予想編

素数公式と素数定理の精密化

ゼータ関数の因数分解公式
リーマンの素数公式
リーマン予想って結局何が嬉しいの?
・( 日曜数学会発表資料「リーマン予想って結局何なの?」 )
非自明な零点の推定
リーマン予想と同値な等式
リーマン予想による素数定理の精密化
リーマン予想に関係する等式や不等式たち
オイラーの級数変換とゼータ関数の解析接続
素数計数関数とチェビシェフ関数の関係まとめ
素数公式から素数定理を導く
クリティカルライン上の零点について

Robinの定理

アーベルの総和公式のとある一般化
対数積分Li(x)のx→0,1,∞における挙動について
一般化優高度合成数の性質
リーマン予想によるオイラー積の漸近公式
リーマン予想による約数関数の漸近公式(とラマヌジャンの定理)
リーマン予想と同値な不等式:ラマヌジャンの定理

円周率公式編

ラマヌジャンの円周率公式

ラマヌジャンの円周率公式を理解したい
ラマヌジャンの円周率公式を理解した!
・( 日曜数学会発表資料「ラマヌジャンの円周率公式を理解しよう」 )
・( 日曜数学会発表資料「ラマヌジャン定数の謎を追え!」 )

Chudnovskyの公式

Picard Fuchsの微分方程式
Chudnovskyの円周率公式の証明

Borweinの公式

テータ関数と楕円積分
ラマヌジャンの円周率公式の証明

モジュラー方程式

モジュラー群Λとモジュラーλ関数
テータ関数のいくつかの関係式
モジュラー方程式
u-v形式のモジュラー方程式
ヤコビの楕円関数の諸性質
楕円関数の変換の解析的な解
楕円関数の変換の代数的な解とモジュラー方程式

Singlar Moduli

色々なモジュラー方程式とsingular moduli
ラマヌジャンの不変量を求める
log Γ(z)のフーリエ級数展開
L関数の特殊値をΓ関数によって表す
楕円積分の特殊値を求める
楕円積分の特殊値を求める(その2)
楕円積分の特殊値を求める(その3)
モジュラー方程式とSingular Moduli

ラマヌジャン・佐藤級数編

cubic theta functionについての覚え書き
微分方程式と解析接続
微分方程式と保型形式
微分方程式の級数解
ラマヌジャン・佐藤級数を理解したい(その1)
ラマヌジャン・佐藤級数を理解したい(その2)
ラマヌジャン・佐藤級数を理解したい(その3)
ラマヌジャン・佐藤級数を理解したい(その4)
ラマヌジャン・佐藤級数を理解したい(その5、まとめ)
ラマヌジャン・佐藤級数を理解したい(その6、公式集1)
ラマヌジャン・佐藤級数を理解したい(その7、公式集2)
ラマヌジャンの円周率公式を解剖する

ヤコビの楕円関数

ヤコビの楕円関数とテータ関数まとめ
テータ関数の積とLattice Sumの分解公式
テータ関数の積に関するヤコビの公式
sn関数の累乗に関するヤコビの公式
ヤコビの三重積のヤコビによる証明
ヤコビの二平方定理・四平方定理

ラマヌジャン関係

ラマヌジャンは本当に何も知らなかったのか
ラマヌジャンの公式は全て証明されたのか
ラマヌジャンがハーディに宛てた手紙
ラマヌジャンの公式集:初等的な恒等式
ラマヌジャンの公式集:級数、積分
ラマヌジャンの公式集:級数の関係式
ラマヌジャンの公式集:ラマヌジャンの出題した問題
Ramanujan's Master Theorem
ラマヌジャンの素数公式
ラマヌジャンの論文4:ある数の逆数和について
ラマヌジャンの論文11:いくつかの積分について
ラマヌジャンの論文12:ガウス和に関連した積分
ラマヌジャンの論文24:ベルトランの仮説の証明
ラマヌジャン総和法0:総和法とは
ラマヌジャン総和法1:ラマヌジャン定数
ラマヌジャン総和法2:ラマヌジャン和の再定義
ラマヌジャン総和法3:主要な定理と交代級数
ラマヌジャン総和法4:応用例

超幾何関数と超幾何数列

一般化ルジャンドル関係式
超幾何関数のいろいろな公式
超幾何関数の変換公式を眺める
超幾何関数の変換公式の導出
超幾何関数の変換
超幾何数列の基礎1:closed form
超幾何数列の基礎2:望遠鏡和の作り方
超幾何数列の基礎3:漸化式の解き方
超幾何数列の基礎4:二重数列の総和
超幾何数列の基礎5:WZ method
超幾何数列の基礎6:Markov-WZ method
超幾何数列の基礎7:望遠鏡和による簡約化
ラマヌジャンのある円周率公式の初等的な証明と一般化
アペリーの定理とWZ method

雑学

合同方程式 x^k≡1 (mod p^e)の解
分数関数の最大値、最小値の微分を使わない求め方
一般化ヘロンの公式:Cayley-Menger行列式
スターリングの公式の簡単な証明
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理
一般化Lucasの定理と東大数学2021
ヴァンデルモンドの恒等式と下降冪版二項定理
Siegelの補題
六指数定理
スターリング数の相互関係と一般項

自由研究

任意の整数は素数である(数学ジョーク)
coth xの部分分数展開とsinh xの因数分解公式の初等的証明
正n角形を円と放物線の交点で表現する
55^90と99!の大きさ比較問題
Re:マクローリン展開から始める三角関数
N進じゃない位取り記数法
36進法は"いい"記数法説
行列のノルムについての雑記
四次方程式の解の公式を解剖してみる
1の冪根をたくさん求めてみた(解説付き)
りぼーすさんの研究についての代数的な考察
m項間漸化式の特性方程式はどこから出て来るのか
3次元アステロイドの表面積を計算してみた
代数的数の和、積は再び代数的数となる ほか
マーチンゲール法の期待値
sin版チェビシェフ多項式
円に接しまくるn次関数(解決編)
スターリング数と微分演算子、その類似
NKSさんの級数について
放物線上を跳ねる物体とフィボナッチ数

コラム等

リーマン予想って結局何が嬉しいの?
日曜数学会発表資料「リーマン予想って結局何なの?」
リーマン予想に関係する等式や不等式たち
日曜数学会発表資料「1=0.999...って本当?」
日曜数学会発表資料「1の19乗根を求めてみた話」
ラマヌジャンの円周率公式を理解したい
ラマヌジャンの円周率公式を理解した!
ラマヌジャンの円周率公式を解剖する
日曜数学会発表資料「ラマヌジャンの円周率公式を理解しよう」
日曜数学会発表資料「ラマヌジャン定数の謎を追え!」
デデキント切断って何だよ!!!!!!!!!!
今まで書いてきた記事の紹介とGoogle検索
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概説

正則素数編

概要

 円分体$\Q(\z_p)$の類数$h_p$を割り切らないような素数$p$のことを正則素数と言う。

 こちらはフェルマーの最終定理やベルヌーイ数と正則素数の関係について理解することを目的としたシリーズとなります。具体的には以下の定理の証明、並びにそれに向けて円分体やデデキントゼータ関数についての基本知識を解説する記事群となっています。

非正則素数に対するフェルマーの最終定理

 非正則素数$p$に対し方程式$x^p+y^p=z^p$は非自明な整数解$x,y,z$を持たない。

クンマーの判定法(Kummer's criterion)

 素数$p$が非正則素数であることと$p$がベルヌーイ数$B_2,B_4,\ldots,B_{p-3}$の分子を割り切らないことは同値である。


記事一覧

フェルマーの最終定理

円分体の整数環と判別式
Henselの補題
Kummerの補題
正則素数におけるフェルマーの最終定理:ファーストケース
正則素数におけるフェルマーの最終定理:セカンドケース

クンマーの判定法

実円分体の整数環と判別式
円分体と実円分体における素数の分解
ディリクレ指標の性質
ガウス和と符号決定問題
ディリクレのL関数の特殊値と関数等式
円分体と実円分体のデデキントゼータ関数
類数公式の証明
素数pがベルヌーイ数を割り切るなら非正則素数である
素数pがベルヌーイ数を割り切らないなら正則素数である

$k$-ナッチ数編

概要

$$F^{[k]}_0=F^{[k]}_1=\cdots=F^{[k]}_{k-2},\;F^{[k]}_{k-1}=1$$
および漸化式
$$F^{[k]}_{n+k}=F^{[k]}_{n+k-1}+\cdots F^{[k]}_{n+1}+F^{[k]}_n$$
によって定まる数列$F^{[k]}_n$のことを$k$-ナッチ数と言う。

 このシリーズは当時apu_yokaiさんが熱を入れていた$k$-ナッチ数について個人的に考察したシリーズとなります。例えば以下のような命題を示しています。

 方程式
$$f_k(x)=x^k-x^{k-1}-\cdots-x-1=0$$
$1< x<2$なる実数解を$x=\a_k$とおくと
$$F^{[k]}_n=\left\lfloor\frac{\a_k^n}{f'_k(\a_k)}\right\rceil$$
が成り立つ。ただし$\lfloor x\rceil$$x$を四捨五入して得られる整数とする。

$k$-リュカ数$L^{[k]}_n$
$$L^{[k]}_0=k,\;L^{[k]}_n=2^n-1\quad(1\leq n\leq k-1)$$
および漸化式
$$L^{[k]}_{n+k}=L^{[k]}_{n+k-1}+\cdots L^{[k]}_{n+1}+L^{[k]}_n$$
によって定めると$n>k^3/3$において
$$L^{[k]}_n=\lfloor\a_k^n\rceil$$
が成り立つ。


記事一覧

四捨五入表示

k-ナッチ数列の四捨五入表示についての考察(ほぼ証明)
k-ナッチ数列の四捨五入表示の確率論的導出
ランダムウォーク不等式(仮)
k-リュカ数の四捨五入表示についての考察
k-リュカ数の四捨五入表示についての考察(その2)
k-リュカ数の四捨五入表示についての考察(その3)とその予想

代数的構造

ヴァンデルモンド行列の逆行列
重解のない固有方程式を持つ数列の行列表現とその成分
k-ナッチ数のk-リュカ数による表現
k-ナッチ数とペル方程式

お勉強編

概要

 こちらは他の色々な記事を執筆するにあたって該当する基礎知識を勉強したシリーズとなります。
・複素解析:こちらは主にリーマン予想編に向けた記事群となります。
・保型形式:こちらは主に円周率公式編に向けた記事群となります。
・二次形式:こちらは主にsingular moduli編に向けた記事群となります。
$p$進整数論:こちらはKronecker-Weberの定理の証明を理解することを目的としたシリーズとなります。が、記事としてその全てをまとめるにはあまりにも書かなければならないことが多すぎて未完のまま筆を投げてしまったシリーズでもあります。
$p$進解析:こちらについては完全に興味本位で調べたものであり、特にその先の展望があるわけではありません。
・雑記:雑記です

記事一覧

 複素解析編についてはその一つ一つが面白い内容となっていると思うので、それぞれで解説している主な定理を付記しておきます。

複素解析

一般ディリクレ級数の収束軸と応用例
一般ディリクレ級数の収束軸

$\dis\s_c=\limsup_{n=\infty}\frac{\log|\sum^n_{k=1}a_k|}{\lambda_n}\quad\bigg(\sum^\infty_{n=1}a_n$が発散するとき$\bigg)$
$\dis\s_c=\limsup_{n=\infty}\frac{\log|\sum^\infty_{k=n}a_k|}{\lambda_n}\quad\bigg(\sum^\infty_{n=1}a_n$が収束するとき$\bigg)$
とおくと一般ディリクレ級数
$$\sum^\infty_{n=1}a_ne^{-\lambda_ns}$$
$\Re(s)>\s_c$において収束し、$\Re(s)<\s_c$において発散する。


ワイエルシュトラスの因数分解定理
ワイエルシュトラスの因数分解定理

 整関数$f$とその$0$でない零点全体$\{a_n\}$に対し、ある非負整数列$\{p_n\}$および整関数$g$が存在して
$$f(z)=e^{g(z)}z^m\prod_{n=1}^\infty\l(1-\frac{z}{a_n}\r)\exp\l(\sum^{p_n}_{k=1}\frac1k\bigg(\frac{z}{a_n}\bigg)^k\r)$$
が成り立つ。


ポアソン・イェンゼンの公式
ポアソン・イェンゼンの公式

 $|z|\leq R$において正則な関数$f$$|z|=R$において零点を持たなければ
$$\frac{f'(z)}{f(z)}=\sum_{\substack{\a:\mathrm{zeros}\\|\a|< R}}\l(\frac{1}{z-\a}+\frac{\ol\a}{R^2-\ol\a z}\r)+\frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0\frac{2Re^{i\t}}{(Re^{i\t}-z)^2}\log|f(Re^{i\t})|d\t$$
が成り立つ。


アダマールの因数分解定理
アダマールの因数分解定理

 $f$を位数有限な整関数、$\{a_n\}$をその$0$でない零点全体とする。このとき$f$の位数を$\lambda$$\{a_n\}$の種数・指数をそれぞれ$p,v$とおくとある多項式$g$が存在して
$$f(z)=z^me^{g(z)}\prod^\infty_{n=1}\left(1-\frac{z}{a_n}\right)\exp\left(\sum^p_{k=1}\frac1k\bigg(\frac{z}{a_n}\bigg)^k\right)$$
が成り立つ。特に$f$の種数$h=\max\{p,\deg g\}$に対して$p\leq h\leq p+1$が成り立つ。


ミッタク=レフラーの部分分数展開定理
ミッタク=レフラーの部分分数展開定理

 $\C$上の有理型関数$f$がある整数$p$と非有界単調増加列$\{r_n\}$に対し
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\max_{|z|=r_n}|f(z)|}{r_n^{p+1}}=0$$
を満たすとき
$$f(z)=f_0(z)+\sum^{p}_{k=0}\frac{F^{(k)}(0)}{k!}z^k+\sum_{\a:\mathrm{poles}}(f_\a(z)-\sum^{p}_{k=0}\frac{f^{(k)}_\a(0)}{k!}z^k)$$
が成り立つ。ただし$f_\a$$z=\a$における$f$のローラン展開の主要部、$F$$F=f-f_0$とした。


フーリエ級数展開からフーリエ変換まで

 特筆すべきことは特にありません。

保型形式

保型形式の基礎のキソ:モジュラー形式とモジュラー群Γ
保型形式の基礎のキソ:アイゼンシュタイン級数とラマヌジャンのデルタ
楕円関数論の基礎のキソ
保型形式入門:Fuchs群と固定点
保型形式入門:基本領域
保型形式入門:Γ\ℍの位相
保型形式入門:Γ\ℍの複素構造
保型形式入門:コンパクトリーマン面上の関数
保型形式入門:保型形式
保型形式入門:モジュラー形式とj-不変量
保型形式入門:モジュラー群の有限生成性について

二次形式の整数論

二元二次形式の代数
二平方定理のとある一般化
・( 楕円積分の特殊値を求める(その2) )
整数が二次形式で表現できる条件と応用例
便利数についての覚え書き

$p$進整数論

p進数の一般論:完備離散付値体のお話
完備体上の有限次線形空間のノルムは全て同値である
乗法付値の同値性についての色々
因数分解型のHenselの補題
完備離散付値体の代数拡大

$p$進解析

p進数の解析学と実解析:連続関数編
p進数の解析学と実解析:微分編
p進数の解析学と実解析:積分編

雑記

雑記:部分分数分解
雑記:級数の収束
雑記:級数の収束判定法まとめ
雑記:関数項級数に関する定理まとめ
ピカール・リンデレーフの定理
雑記:線形微分方程式
雑記:ジョルダン標準形

リーマン予想編

概要
リーマン予想

 リーマンゼータ関数$\z(s)$の非自明な零点の実部は全て$1/2$に等しい。

 こちらはリーマン予想と同値ないくつか主張について理解することを目的としたシリーズとなります。例えば以下のような定理について解説していきます。

$$|\pi(x)-\mathrm{Li}(x)|<\frac1{8\pi}\sqrt x\log x\quad(x\geq2657)$$
が成り立つこととリーマン予想が真であることは同値である。

Volchkovの定理

$$\int^\infty_0\int^\infty_{\frac12}\frac{1-12t^2}{(1+4t^2)^3}\log|\z(\s+it)|d\s dt=\frac{\pi(3-\g)}{32}$$
が成り立つこととリーマン予想が真であることは同値である。

Robinの定理

$$\s(n)< e^\g n\log\log n\quad(n>5040)$$
が成り立つこととリーマン予想が真であることは同値である。


記事一覧

素数公式と素数定理の精密化

ゼータ関数の因数分解公式
リーマンの素数公式
リーマン予想って結局何が嬉しいの?
・( 日曜数学会発表資料「リーマン予想って結局何なの?」 )
非自明な零点の推定
リーマン予想と同値な等式
リーマン予想による素数定理の精密化
リーマン予想に関係する等式や不等式たち
オイラーの級数変換とゼータ関数の解析接続
素数計数関数とチェビシェフ関数の関係まとめ
素数公式から素数定理を導く
クリティカルライン上の零点について

Robinの定理

アーベルの総和公式のとある一般化
対数積分Li(x)のx→0,1,∞における挙動について
一般化優高度合成数の性質
リーマン予想によるオイラー積の漸近公式
リーマン予想による約数関数の漸近公式(とラマヌジャンの定理)
リーマン予想と同値な不等式:ラマヌジャンの定理

円周率公式編

概要

 こちらはラマヌジャンの円周率公式
$$\frac1\pi=\frac{2\sqrt2}{99^2}\sum^\infty_{n=0}\frac{(4n)!}{(n!)^4}\frac{26390n+1103}{396^{4n}}$$
やChudnovskyの公式
$$\frac1\pi=12\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(6n)!}{(3n)!(n!)^3}\frac{545140134n+13591409}{640320^{3n+\frac32}}$$
について理解することを目的としたシリーズとなります。
 このシリーズの内容は主に3つのPDF
超幾何関数の変換公式の導出
モジュラー方程式とSingular Moduli
ラマヌジャンの円周率公式の証明
にまとめられているので、その他の記事についてはあまり読む必要はありません。

記事一覧

 以下の枠で囲った記事群は主に
ラマヌジャンの円周率公式の証明
に集約されています。

 また以下の枠で囲った記事群は主に
モジュラー方程式とSingular Moduli
に集約されています(ただし 楕円積分の特殊値を求める(その3) は未収録)。

ラマヌジャン・佐藤級数

cubic theta functionについての覚え書き
微分方程式と解析接続
微分方程式と保型形式
微分方程式の級数解
ラマヌジャン・佐藤級数を理解したい(その1)
ラマヌジャン・佐藤級数を理解したい(その2)
ラマヌジャン・佐藤級数を理解したい(その3)
ラマヌジャン・佐藤級数を理解したい(その4)
ラマヌジャン・佐藤級数を理解したい(その5、まとめ)
ラマヌジャン・佐藤級数を理解したい(その6、公式集1)
ラマヌジャン・佐藤級数を理解したい(その7、公式集2)
ラマヌジャンの円周率公式を解剖する

ヤコビの楕円関数

ヤコビの楕円関数とテータ関数まとめ
テータ関数の積とLattice Sumの分解公式
テータ関数の積に関するヤコビの公式
sn関数の累乗に関するヤコビの公式
ヤコビの三重積のヤコビによる証明
ヤコビの二平方定理・四平方定理

ラマヌジャン関係

概要

 こちらはラマヌジャンの業績について紹介したり考察したり証明を読んでみたりした記事群となります。

記事一覧

ラマヌジャンは本当に何も知らなかったのか
ラマヌジャンの公式は全て証明されたのか
ラマヌジャンがハーディに宛てた手紙
ラマヌジャンの公式集:初等的な恒等式
ラマヌジャンの公式集:級数、積分
ラマヌジャンの公式集:級数の関係式
ラマヌジャンの公式集:ラマヌジャンの出題した問題
Ramanujan's Master Theorem
ラマヌジャンの素数公式
ラマヌジャンの論文4:ある数の逆数和について
ラマヌジャンの論文11:いくつかの積分について
ラマヌジャンの論文12:ガウス和に関連した積分
ラマヌジャンの論文24:ベルトランの仮説の証明
ラマヌジャン総和法0:総和法とは
ラマヌジャン総和法1:ラマヌジャン定数
ラマヌジャン総和法2:ラマヌジャン和の再定義
ラマヌジャン総和法3:主要な定理と交代級数
ラマヌジャン総和法4:応用例

超幾何関数と超幾何数列

概要

 こちらは超幾何数列や超幾何関数に関する手法についてまとめた記事群となります。

記事一覧

一般化ルジャンドル関係式
超幾何関数のいろいろな公式
超幾何関数の変換公式を眺める
超幾何関数の変換公式の導出
超幾何関数の変換
超幾何数列の基礎1:closed form
超幾何数列の基礎2:望遠鏡和の作り方
超幾何数列の基礎3:漸化式の解き方
超幾何数列の基礎4:二重数列の総和
超幾何数列の基礎5:WZ method
超幾何数列の基礎6:Markov-WZ method
超幾何数列の基礎7:望遠鏡和による簡約化
ラマヌジャンのある円周率公式の初等的な証明と一般化
アペリーの定理とWZ method

雑学

概要

 こちらは特に分類先のない雑学的な記事群となります。

記事一覧
合同方程式 x^k≡1 (mod p^e)の解

 合同方程式$x^{p^{e'}}\equiv1\pmod{p^e}$の解は
$$x\equiv1+p^{e-e'}j\pmod{p^e}\quad(0\leq j< p^{e'})$$
によって尽くされます。

分数関数の最大値、最小値の微分を使わない求め方

 分数関数$\dis h(x)=f(x)/g(x)$の最大値や最小値を$M,m$とおき、$f(x)-Mg(x),f(x)-mg(x)$の最大値や最小値を考えることで$M,m$を特定する手法を考案してみました。

一般化ヘロンの公式:Cayley-Menger行列式

 三角形の三辺の長さから面積を求める公式、ヘロンの公式は$n$次元図形へ一般化することができます。

スターリングの公式の簡単な証明

 スターリングの公式は一本の等式
$$\sqrt{t}\l(\frac{e}{t}\r)^t\G(t)=\int^\infty_{-\infty}\exp\l(t(1+\frac{x}{\sqrt{t}}-e^{\frac{x}{\sqrt{t}}})\r)dx$$
だけで説明できます。

リンデマン・ワイエルシュトラスの定理
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理

 互いに異なる代数的数$\a_1,\a_2,\ldots,\a_n$に対し$e^{\a_1},e^{\a_2},\ldots,e^{\a_n}$$\ol\Q$上線形独立となる


一般化Lucasの定理と東大数学2021

 一般化Lucasの定理
$$\frac{{}_nC_m}{p^{k_0}}\equiv\d_{p^e}^{k_{e-1}} \l(\farc{(N_d)!_p}{(M_d)!_p(L_d)!_p}\r) \cdots \l(\farc{(N_1)!_p}{(M_1)!_p(L_1)!_p}\r) \l(\farc{(N_0)!_p}{(M_0)!_p(L_0)!_p}\r)\pmod{p^e}$$
を用いて東大数学2021を解いてみました。

ヴァンデルモンドの恒等式と下降冪版二項定理

 下降冪$(x)_n$に対しても二項定理
$$(x+y)_n=\sum^n_{k=0}\binom nk(x)_k(y)_{n-k}$$
が成り立つようです。

Siegelの補題

 以下の補題は超越数論でしばしば使われるらしいです。

$\mathbb{Z}$上のSiegelの補題

 $n$個の未知数$x_j$についての$m\;(< n)$連整数係数方程式
$$\sum^n_{j=1}a_{i,j}x_j=0\quad(i=1,2,\ldots,m)$$
を考えたとき、
$$|x_j|\leq2(2nA)^{\frac m{n-m}}\quad(1\leq j\leq n)$$
を満たすような非自明な整数解が存在する。ただし$A=\max_{i,j}|a_{i,j}|$とした。


六指数定理
六指数定理

 $\b_1,\b_2$および$z_1,z_2,z_3$をそれぞれ$\Q$上線形独立な複素数とすると
$e^{\b_1z_1},e^{\b_1z_2},e^{\b_1z_3}$
$e^{\b_2z_1},e^{\b_2z_2},e^{\b_2z_3}$
のうち少なくとも一つは超越数である。


スターリング数の相互関係と一般項

 スターリング数の相互関係
\begin{align} \S n{n-k}&=\sum^k_{m=0}\binom{k-n}{k+m}\binom{n+k}{n+m}\s{m+k}m\\ \s n{n-k}&=\sum^k_{m=0}\binom{k-n}{k+m}\binom{n+k}{n+m}\S{m+k}m \end{align}
や一般項
\begin{align} \s nk&=\sum^k_{j=0}(-1)^{k-j}\frac{j^n}{j!(k-j)!}\\ \S nk &=\sum^{2n-k}_{m=n}\binom{m-1}{k-1}\binom{2n-k}m\sum^{m-n}_{j=0}(-1)^{n-k+j}\frac{j^{m-k}}{j!(m-n-j)!} \end{align}
についてまとめました。

自由研究

概要

 こちらは主に参考文献もなしに個人的に考えたことについてまとめた記事群となります。

記事一覧
任意の整数は素数である(数学ジョーク)

 知っていましたか?任意の整数は素数なんですよ。もちろん、冗談ですが。

coth xの部分分数展開とsinh xの因数分解公式の初等的証明

 $\coth x$の部分分数展開
$$\coth x=\frac1x+\sum^\infty_{k=1}\frac{2x}{x^2+\pi^2k^2}$$
を高校数学の範囲で証明できないか奮闘した記録となります。

正n角形を円と放物線の交点で表現する

 当時少し話題になっていた「正$3k+1$角形を円と$k$個の放物線の交点で表現する」という話題について考察してみました。

55^90と99!の大きさ比較問題

 $55^{90}$$99!$の大きさを現実的な計算量で比較します。

Re:マクローリン展開から始める三角関数

 べき級数によって三角関数を定義したとき、そこから三角関数の幾何学的性質が正常に導かれるのか、ということについて考察してみました。

N進じゃない位取り記数法

 我々は普段$10$進位取り記数法を用いており、他に使ったとしても$2$進法や$16$進法など$N$進法止まりである。しかしより一般的な記数法を考えたとき、より豊かな性質を持った記数法が現れたりしないだろうか。

36進法は"いい"記数法説

 上の記事では$N$進じゃない記数法について考察したが、では$N$進法の中で一番優れた$N$の取り方はどれだろうか。と考えたとき$N=36$という値が浮かび上がってきたのであった...。

行列のノルムについての雑記

 函数解析の勉強をしていたとき、ふと行列のノルムはどのように求まるのか気になって色々調べてみました。

四次方程式の解の公式を解剖してみる

 一般に五次以上の方程式は(代数的に)解けないことが知られていますが、四次・三次の方程式についてはその構造を明らかにすることができます。

1の冪根をたくさん求めてみた(解説付き)

 五次方程式が解けないことの副産物として1の冪根は代数的に求められることが知られています。

りぼーすさんの研究についての代数的な考察

 りぼーすさんの(初等的な手法による)フィボナッチ数についての研究に対して代数的整数論によるアプローチを考えてみました。

m項間漸化式の特性方程式はどこから出て来るのか

 演算子をコネコネしています。が、多分もっとよくまとまった記事がどこかにあると思います。

3次元アステロイドの表面積を計算してみた

 知り合いに勧められて3次元アステロイド$x^\frac23+y^\frac23+z^\frac23=a^\frac23$の表面積を計算してみました。

代数的数の和、積は再び代数的数となる ほか

 代数的数全体のなす集合$\ol{\Q}$が和や積について閉じていることは有名ですが、同様にして線形漸化式を満たす数列や線形微分方程式を満たす関数全体も和や積について閉じていることを示すことができます。

マーチンゲール法の期待値

 たとえ何回負けようと一回でも勝てば儲けが出る。そんなギャンブルの必勝法について数学的に考察してみました。

sin版チェビシェフ多項式

 数式をアレコレいじっていたら
$$\frac{\cos(2n+1)\t}{\cos\t}=\sum^n_{k=0}(-1)^k\binom{n+k}{2k}(2\sin\t)^{2k}$$
のような興味深い関係式が色々出てきました。

円に接しまくるn次関数(解決編)

 Sunpillarさんの提起した円に接しまくる$n$次関数の問題に対して明示的な公式を発見しました。

スターリング数と微分演算子、その類似

 スターリング数と微分演算子の関係
$$\l(x\frac d{dx}\r)^n=\sum^n_{k=0}\l\{n\atop k\r\}x^k\frac{d^k}{dx^k}$$
を想起させるような議論を見かけたので考察してみました。

NKSさんの級数について

 NKSさんが予想した等式
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{\binom{2n}n^2}{2^{4n}}e^{\frac{\pi in}3} =e^{\frac{\pi i}{12}}\l(\frac{16}{27}\r)^{\frac14}\frac{\sqrt\pi}{\G(\frac23)\G(\frac56)}$$
を証明してみました。

放物線上を跳ねる物体とフィボナッチ数

 aoki_taichiさんやapu_yokaiさんが提起した問題について考察してみました。

コラム等

概要

 こちらは主に(比較的)一般向けに書いたコラム的な記事群となります。

記事一覧

リーマン予想って結局何が嬉しいの?
日曜数学会発表資料「リーマン予想って結局何なの?」
リーマン予想に関係する等式や不等式たち
日曜数学会発表資料「1=0.999...って本当?」
日曜数学会発表資料「1の19乗根を求めてみた話」
ラマヌジャンの円周率公式を理解したい
ラマヌジャンの円周率公式を理解した!
ラマヌジャンの円周率公式を解剖する
日曜数学会発表資料「ラマヌジャンの円周率公式を理解しよう」
日曜数学会発表資料「ラマヌジャン定数の謎を追え!」
デデキント切断って何だよ!!!!!!!!!!
今まで書いてきた記事の紹介とGoogle検索
Mathlogの閲覧数ランキングを調べてみた

記事の手直しをしています

 私がMathlogに記事を書き始めたころはかなり変なクセのある文章の書き方をしており、今の私には見るに堪えないものがあったのでぼちぼち昔の記事の手直しでもすることにしました。
 具体的には2022/06/30以前に書かれた計82本の記事を対象に手直しをしていこうと考えていますが、その作業はかなり気まぐれに進めていくので全ての記事を手直しするとは限りません。あまり期待せず気長にお待ちください。

修正した記事一覧 (2024/01/25現在、計36本修正済み)

一般ディリクレ級数の収束軸と応用例
ディリクレのL関数の特殊値と関数等式
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理
Re:マクローリン展開から始める三角関数
円分体の整数環と判別式
Henselの補題
Kummerの補題
正則素数におけるフェルマーの最終定理:ファーストケース
正則素数におけるフェルマーの最終定理:セカンドケース
素数pがベルヌーイ数を割り切るなら非正則素数である
素数pがベルヌーイ数を割り切らないなら正則素数である
保型形式の基礎のキソ:モジュラー形式とモジュラー群Γ
保型形式の基礎のキソ:アイゼンシュタイン級数とラマヌジャンのデルタ
楕円関数論の基礎のキソ
ワイエルシュトラスの因数分解定理
ポアソン・イェンゼンの公式
アダマールの因数分解定理
ミッタク=レフラーの部分分数展開定理
ディリクレ指標の性質
ガウス和と符号決定問題
円分体と実円分体のデデキントゼータ関数
実円分体の整数環と判別式
ゼータ関数の因数分解公式
リーマンの素数公式
リーマン予想って結局何が嬉しいの?
非自明な零点の推定
リーマン予想と同値な等式
リーマン予想に関係する等式や不等式たち
リーマン予想による素数定理の精密化
アーベルの総和公式のとある一般化
対数積分Li(x)のx→0,1,∞における挙動について
一般化優高度合成数の性質
リーマン予想によるオイラー積の漸近公式
リーマン予想による約数関数の漸近公式(とラマヌジャンの定理)
リーマン予想と同値な不等式:ラマヌジャンの定理
一般化Lucasの定理と東大数学2021

おまけ

 以下では私がコメントにて首を突っ込んできた記事をなんとなくまとめておきます。

折り畳み

Coefficients of 子葉さん's k-Fibonacci formula
ガンマ関数についての予想
k-ナッチ数列の誤差数列の無限和を求める
logx のxに関するn回積分についてのお話とその拡張①
【完成版】logx のxに関するα階積分・反復積分について
フィボナッチ数を含む無限級数の小数表示から周期的な数列が現れる
体積=表面積=辺の全長 となる直方体は存在しない - Taichi AOKI
フォロワー2900人突破記念問題の答え&ガンマ関数・ディガンマ関数との関係
自作定積分
ふしぎな数列2
留数と漸化式と円周率の平方根

投稿日:202142
更新日:6日前

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投稿者

子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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